Teorema de Krylov-Bogolyubov

En matemáticas , el teorema de Krylov-Bogolyubov (también conocido como teorema de la existencia de medidas invariantes ) puede referirse a cualquiera de los dos teoremas fundamentales relacionados dentro de la teoría de sistemas dinámicos . Los teoremas garantizan la existencia de medidas invariantes para ciertos mapas "bonitos" definidos en espacios "bonitos" y recibieron el nombre de los matemáticos y físicos teóricos ruso - ucranianos Nikolay Krylov y Nikolay Bogolyubov, quienes demostraron los teoremas. ^[1]

Formulación de los teoremas.

Medidas invariantes para un solo mapa.

Teorema (Krylov-Bogolyubov) . Sea ( X ,  T ) un espacio topológico compacto y metrizable y F  :  X  →  X una función continua . Entonces F admite una medida de probabilidad de Borel invariante .

Es decir, si Borel( X ) denota el álgebra σ de Borel generada por la colección T de subconjuntos abiertos de X , entonces existe una medida de probabilidad μ  : Borel( X ) → [0, 1] tal que para cualquier subconjunto A ∈ Borel( X ),

${\displaystyle \mu \left(F^{-1}(A)\right)=\mu (A).}$

En términos de impulso hacia adelante , esto establece que

${\displaystyle F_{*}(\mu )=\mu .}$

Medidas invariantes para un proceso de Markov

Sea X un espacio polaco y sean las probabilidades de transición para un semigrupo de Markov homogéneo en el tiempo en X , es decir ${\displaystyle P_{t},t\geq 0,}$

${\displaystyle \Pr[X_{t}\in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A).}$

Teorema (Krylov-Bogolyubov) . Si existe un punto para el cual la familia de medidas de probabilidad {  P _t ( x , ·) |  t  > 0 } es uniformemente ajustado y el semigrupo ( P _t ) satisface la propiedad de Feller , entonces existe al menos una medida invariante para ( P _t ), es decir, una medida de probabilidad μ en X tal que ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle (P_{t})_{\ast }(\mu )=\mu {\mbox{ for all }}t>0.}$

Ver también

• Para el primer teorema: Ya. G. Sinai (Ed.) (1997): Sistemas dinámicos II. Teoría ergódica con aplicaciones a sistemas dinámicos y mecánica estadística . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN  3-540-17001-4 . (Sección 1).
• Para el segundo teorema: G. Da Prato y J. Zabczyk (1996): Ergodicidad para sistemas de dimensiones infinitas . Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN 0-521-57900-7 . (Seccion 3). 

Notas

1. NN Bogoliubov y NM Krylov (1937). "La teoría general de la medida en su aplicación al estudio de sistemas dinámicos de la mecánica no lineal". Anales de Matemáticas . Segunda Serie (en francés). 38 (1): 65-113. doi :10.2307/1968511. JSTOR  1968511.Zbl. 16.86.

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