Norma del operador

Medida del "tamaño" de los operadores lineales

En matemáticas , la norma del operador mide el "tamaño" de ciertos operadores lineales al asignar a cada uno un número real llamado su norma del operador . Formalmente, es una norma definida en el espacio de operadores lineales acotados entre dos espacios vectoriales normados dados . Informalmente, la norma del operador de una función lineal es el factor máximo por el cual "alarga" los vectores. ${\displaystyle \|T\|}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

Introducción y definición

Dados dos espacios vectoriales normados y (sobre el mismo cuerpo base , ya sea los números reales o los números complejos ), una función lineal es continua si y solo si existe un número real tal que ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \|Av\|\leq c\|v\|\quad {\text{ for all }}v\in V.}$$

La norma de la izquierda es la de y la norma de la derecha es la de . Intuitivamente, el operador continuo nunca aumenta la longitud de ningún vector en más de un factor de Por lo tanto, la imagen de un conjunto acotado bajo un operador continuo también está acotada. Debido a esta propiedad, los operadores lineales continuos también se conocen como operadores acotados . Para "medir el tamaño" de se puede tomar el ínfimo de los números tales que la desigualdad anterior se cumple para todos Este número representa el factor escalar máximo por el cual "alarga" los vectores. En otras palabras, el "tamaño" de se mide por cuánto "alarga" los vectores en el caso "más grande". Por lo tanto, definimos la norma del operador de como ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\text{ for all }}v\in V\}.}$$

El ínfimo se alcanza cuando el conjunto de todos ellos es cerrado , no vacío y acotado desde abajo. ^[2] ${\displaystyle c}$

Es importante tener en cuenta que esta norma del operador depende de la elección de normas para los espacios vectoriales normados y . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Ejemplos

Cada matriz -por- real corresponde a una función lineal de a Cada par de la plétora de normas (vectoriales) aplicables a espacios vectoriales reales induce una norma de operador para todas las matrices -por- de números reales; estas normas inducidas forman un subconjunto de normas matriciales . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Si elegimos específicamente la norma euclidiana en ambos y entonces la norma matricial dada a una matriz es la raíz cuadrada del valor propio más grande de la matriz (donde denota la transpuesta conjugada de ). ^{[3] Esto es equivalente a asignar el} valor singular más grande de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Pasando a un ejemplo típico de dimensión infinita, considere el espacio de secuencia que es un espacio L p , definido por ${\displaystyle \ell ^{2},}$ $${\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(a_{n})_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \right\}.}$$

Esto puede verse como un análogo de dimensión infinita del espacio euclidiano. Ahora considere una secuencia acotada. La secuencia es un elemento del espacio con una norma dada por ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ $${\displaystyle \left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.}$$

Definir un operador mediante multiplicación puntual: ${\displaystyle T_{s}}$ $${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\;{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\;\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$$

El operador está limitado por la norma del operador. ${\displaystyle T_{s}}$ $${\displaystyle \left\|T_{s}\right\|_{\text{op}}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.}$$

Esta discusión se extiende directamente al caso donde se reemplaza por un espacio general con y se reemplaza por ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$

Definiciones equivalentes

Sea un operador lineal entre espacios normados. Las primeras cuatro definiciones son siempre equivalentes, y si además , todas son equivalentes: ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle V\neq \{0\}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{\text{op}}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\text{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}$

Si entonces los conjuntos en las dos últimas filas estarán vacíos, y en consecuencia sus supremos sobre el conjunto serán iguales en lugar del valor correcto de Si en cambio se toma el supremo sobre el conjunto , entonces el supremo del conjunto vacío es y las fórmulas son válidas para cualquier ${\displaystyle V=\{0\}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V.}$

Es importante destacar que, en general, no se garantiza que un operador lineal alcance su norma en la bola unitaria cerrada, lo que significa que podría no existir ningún vector de norma tal que (si tal vector existe y si entonces necesariamente tendría norma unitaria ). RC James demostró el teorema de James en 1964, que establece que un espacio de Banach es reflexivo si y solo si cada funcional lineal acotado alcanza su norma en la bola unitaria cerrada. ^[4] De ello se deduce, en particular, que cada espacio de Banach no reflexivo tiene algún funcional lineal acotado (un tipo de operador lineal acotado) que no alcanza su norma en la bola unitaria cerrada. ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup\{\|Av\|:\|v\|\leq 1,v\in V\}}$ ${\displaystyle \{v\in V:\|v\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle \|u\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\|Au\|}$ ${\displaystyle A\neq 0,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$

Si está acotado entonces ^[5] y ^[5] donde es la transpuesta de la cual es el operador lineal definido por ${\displaystyle A:V\to W}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup \left\{\left|w^{*}(Av)\right|:\|v\|\leq 1,\left\|w^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}v\in V,w^{*}\in W^{*}\right\}}$$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|{}^{t}A\right\|_{\text{op}}}$$ ${\displaystyle {}^{t}A:W^{*}\to V^{*}}$ ${\displaystyle A:V\to W,}$ ${\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.}$

Propiedades

La norma del operador es, de hecho, una norma en el espacio de todos los operadores acotados entre y . Esto significa ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{\text{op}}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,}$$ $${\displaystyle \|aA\|_{\text{op}}=|a|\|A\|_{\text{op}}{\mbox{ for every scalar }}a,}$$ $${\displaystyle \|A+B\|_{\text{op}}\leq \|A\|_{\text{op}}+\|B\|_{\text{op}}.}$$

La siguiente desigualdad es una consecuencia inmediata de la definición: $${\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{\text{op}}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.}$$

La norma del operador también es compatible con la composición, o multiplicación, de operadores: si , y son tres espacios normados sobre el mismo cuerpo base, y y son dos operadores acotados, entonces es una norma submultiplicativa , es decir: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle B:W\to X}$ $${\displaystyle \|BA\|_{\text{op}}\leq \|B\|_{\text{op}}\|A\|_{\text{op}}.}$$

Para los operadores acotados en , esto implica que la multiplicación del operador es conjuntamente continua. ${\displaystyle V}$

De la definición se desprende que si una secuencia de operadores converge en la norma del operador, converge uniformemente en conjuntos acotados.

Tabla de normas de operadores comunes

Al elegir diferentes normas para el codominio, utilizado en el cálculo de , y el dominio, utilizado en el cálculo de , obtenemos diferentes valores para la norma del operador. Algunas normas de operador comunes son fáciles de calcular, y otras son NP-duras . A excepción de las normas NP-duras, todas estas normas se pueden calcular en operaciones (para una matriz), con la excepción de la norma (que requiere operaciones para la respuesta exacta, o menos si la aproxima con el método de potencia o iteraciones de Lanczos ). ${\displaystyle \|Av\|}$ ${\displaystyle \|v\|}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \ell _{2}-\ell _{2}}$ ${\displaystyle N^{3}}$

La norma del adjunto o transpuesto se puede calcular de la siguiente manera. Tenemos que para cualquier entonces donde son conjugados de Hölder a es decir, y ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}$ ${\displaystyle p',q'}$ ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$ ${\displaystyle 1/q+1/q'=1.}$

Operadores en un espacio de Hilbert

Supongamos que es un espacio de Hilbert real o complejo . Si es un operador lineal acotado, entonces tenemos y donde denota el operador adjunto de (que en espacios euclidianos con el producto interno estándar corresponde a la transpuesta conjugada de la matriz ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}}$$ $${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2},}$$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En general, el radio espectral de está limitado arriba por la norma del operador de : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{\text{op}}.}$$

Para ver por qué la igualdad no siempre se cumple, considere la forma canónica de Jordan de una matriz en el caso de dimensión finita. Debido a que hay entradas distintas de cero en la superdiagonal, la igualdad puede ser violada. Los operadores cuasinilpotentes son una clase de tales ejemplos. Un operador cuasinilpotente distinto de cero tiene espectro. Por lo tanto , mientras ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \rho (A)=0}$ ${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}>0.}$

Sin embargo, cuando una matriz es normal , su forma canónica de Jordan es diagonal (hasta equivalencia unitaria); este es el teorema espectral . En ese caso es fácil ver que ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{\text{op}}.}$$

Esta fórmula a veces se puede utilizar para calcular la norma del operador de un operador acotado dado : definir el operador hermítico , determinar su radio espectral y tomar la raíz cuadrada para obtener la norma del operador. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A^{*}A,}$ ${\displaystyle A.}$

El espacio de operadores acotados en con la topología inducida por la norma del operador, no es separable . Por ejemplo, considere el espacio Lp que es un espacio de Hilbert. Para sea la función característica de y sea el operador de multiplicación dado por que es, ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1],}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle [0,t],}$ ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{t},}$ $${\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.}$$

Entonces cada uno es un operador acotado con norma de operador 1 y ${\displaystyle P_{t}}$ $${\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{\text{op}}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.}$$

Pero es un conjunto incontable . Esto implica que el espacio de operadores acotados en no es separable, en la norma del operador. Se puede comparar esto con el hecho de que el espacio de secuencias no es separable. ${\displaystyle \{P_{t}:0<t\leq 1\}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

El álgebra asociativa de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert, junto con la norma del operador y la operación adjunta, produce un C*-álgebra .

Véase también

• Banach-Mazur compactum  - Concepto en análisis funcional
• Operador lineal continuo
• Contracción (teoría de operadores)  : operadores acotados con norma de subunidad
• Mapa lineal discontinuo
• Norma dual  : medición en un espacio vectorial normalizado
• Norma matricial  – Norma en un espacio vectorial de matrices
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Espacio normado  : espacio vectorial en el que se define una distancia.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Álgebra de operadores  : rama del análisis funcional
• Teoría de operadores  – Campo de estudio matemático
• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Operador ilimitado  : operador lineal definido en un subespacio lineal denso

Notas

1. Kreyszig, Erwin (1978), Análisis funcional introductorio con aplicaciones , John Wiley & Sons, pág. 97, ISBN 9971-51-381-1
2. Véase, por ejemplo, el Lema 6.2 de Aliprantis & Border (2007).
3. Weisstein, Eric W. "Norma del operador". mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de marzo de 2020 .
4. Diestel 1984, pág. 6.
5. Rudin 1991, págs. 92-115.
6. Sección 4.3.1, tesis doctoral de Joel Tropp , [1]

Referencias

• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007), Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista, Springer, pág. 229, ISBN 9783540326960.
• Conway, John B. (1990), "III.2 Operadores lineales en espacios normados", Un curso de análisis funcional, Nueva York: Springer-Verlag, págs. 67–69, ISBN 0-387-97245-5
• Diestel, Joe (1984). Sucesiones y series en espacios de Banach . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-90859-5.OCLC 9556781  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .