En combinatoria , el número de Euler es el número de permutaciones de los números del 1 al 1 en las que exactamente dos elementos son mayores que el elemento anterior (permutaciones con "ascensos").
Los polinomios eulerianos se definen mediante la función generadora exponencial
Los números eulerianos pueden definirse como los coeficientes de los polinomios eulerianos:
Una fórmula explícita para es [1]
Propiedades básicas
Para fijo hay una única permutación que tiene 0 ascensos: . En efecto, como para todos los , . Esto incluye formalmente la colección vacía de números, . Y por lo tanto .
Porque la fórmula explícita implica , una secuencia que se lee .
Al invertir por completo una permutación con ascensos se crea otra permutación en la que hay ascensos. Por lo tanto , . Por lo tanto, también hay una única permutación que tiene ascensos, a saber, la permutación ascendente . Por lo tanto, también es igual a .
Un límite superior generoso es . Entre los límites que acabamos de analizar, el valor excede .
Para , los valores son formalmente cero, lo que significa que muchas sumas sobre pueden escribirse con un índice superior solo hasta . También significa que los polinomios son realmente de grado para .
La tabulación de los números en una matriz triangular se denomina triángulo de Euler o triángulo de Euler . Comparte algunas características comunes con el triángulo de Pascal . Los valores de (secuencia A008292 en la OEIS ) para son:
Cálculo
Para valores mayores de , también se puede calcular utilizando la fórmula recursiva
Esta fórmula puede motivarse a partir de la definición combinatoria y, por tanto, sirve como punto de partida natural para la teoría.
Para valores pequeños de y , los valores de se pueden calcular manualmente. Por ejemplo
Aplicando la recurrencia a un ejemplo, podemos encontrar
De la misma manera, los polinomios eulerianos se pueden calcular mediante la recurrencia
La segunda fórmula se puede expresar en forma inductiva,
Identidades
Para cualquier propiedad que divida un conjunto finito en un número finito de conjuntos más pequeños, la suma de las cardinalidades de los conjuntos más pequeños es igual a la cardinalidad del conjunto más grande. Los números eulerianos dividen las permutaciones de elementos, por lo que su suma es igual al factorial . Es decir
así como . Para evitar conflictos con la convención de suma vacía , es conveniente simplemente enunciar los teoremas para solamente.
De manera mucho más general, para una función fija integrable en el intervalo [2]
Las permutaciones del multiconjunto que tienen la propiedad de que para cada k , todos los números que aparecen entre las dos ocurrencias de k en la permutación son mayores que k se cuentan por el número factorial doble . El número euleriano de segundo orden, denotado , cuenta el número de todas las permutaciones de este tipo que tienen exactamente m ascensos. Por ejemplo, para n = 3 hay 15 permutaciones de este tipo, 1 sin ascensos, 8 con un solo ascenso y 6 con dos ascensos:
En consecuencia, los polinomios eulerianos de segundo orden, aquí denotados P n (no existe una notación estándar para ellos) son
y las relaciones de recurrencia anteriores se traducen en una relación de recurrencia para la secuencia P n ( x ):
con condición inicial . La última recurrencia puede escribirse de una forma algo más compacta mediante un factor integrador:
de modo que la función racional
satisface una recurrencia autónoma simple:
De donde se obtienen los polinomios eulerianos de segundo orden como , y los números eulerianos de segundo orden como sus coeficientes.
La siguiente tabla muestra los primeros números eulerianos de segundo orden:
La suma de la fila n -ésima, que también es el valor , es .
La indexación de los números eulerianos de segundo orden se presenta de tres formas:
(secuencia A008517 en la OEIS ) siguiendo a Riordan y Comtet,
(secuencia A201637 en la OEIS ) siguiendo a Graham, Knuth y Patashnik,
(secuencia A340556 en la OEIS ), ampliando la definición de Gessel y Stanley.
Referencias
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Citas
^ (L. Comtet 1974, pág. 243)
^ Ejercicio 6.65 de Matemáticas Concretas de Graham, Knuth y Patashnik.
^ Worpitzky, J. (1883). "Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 94 : 203–232.
^ Qi, Feng; Guo, Bai-Ni (1 de agosto de 2017). "Fórmulas explícitas y relaciones de recurrencia para polinomios eulerianos de orden superior". Indagationes Mathematicae . 28 (4): 884–891. doi : 10.1016/j.indag.2017.06.010 . ISSN 0019-3577.