Un número pentagonal es un número figurado que extiende el concepto de números triangulares y cuadrados al pentágono , pero, a diferencia de los dos primeros, los patrones involucrados en la construcción de números pentagonales no son rotacionalmente simétricos . El enésimo número pentagonal p n es el número de puntos distintos en un patrón de puntos que consiste en los contornos de pentágonos regulares con lados hasta n puntos, cuando los pentágonos se superponen de modo que comparten un vértice . Por ejemplo, el tercero está formado por contornos que comprenden 1, 5 y 10 puntos, pero el 1 y 3 de los 5 coinciden con 3 de los 10, dejando 12 puntos distintos, 10 en forma de pentágono y 2 adentro.
p n viene dado por la fórmula:
para n ≥ 1. Los primeros números pentagonales son:
1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176 , 210 , 247 , 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001 , 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 31 51, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (secuencia A000326 en el OEIS ).
El enésimo número pentagonal es la suma de n números enteros a partir de n (es decir, de n a 2n-1). También se mantienen las siguientes relaciones:
Los números pentagonales están estrechamente relacionados con los números triangulares. El n.ésimo número pentagonal es un tercio del (3 n − 1) .ésimo número triangular . Además, donde T n es el enésimo número triangular:
Los números pentagonales generalizados se obtienen a partir de la fórmula dada anteriormente, pero con n tomando valores en la secuencia 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4..., produciendo la secuencia:
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925 , 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (secuencia A001318 en la OEIS ).
Los números pentagonales generalizados son importantes para la teoría de las particiones enteras de Euler , tal como se expresa en su teorema del número pentagonal .
El número de puntos dentro del pentágono más externo de un patrón que forma un número pentagonal es en sí mismo un número pentagonal generalizado.
Los números pentagonales generalizados están estrechamente relacionados con los números hexagonales centrados . Cuando la matriz correspondiente a un número hexagonal centrado se divide entre su fila central y una fila adyacente, aparece como la suma de dos números pentagonales generalizados, siendo la pieza más grande un número pentagonal propiamente dicho:
En general:
donde ambos términos de la derecha son números pentagonales generalizados y el primer término es un número pentagonal propiamente dicho ( n ≥ 1). Esta división de matrices hexagonales centradas da números pentagonales generalizados como matrices trapezoidales, que pueden interpretarse como diagramas de Ferrers para su partición. De esta manera se pueden utilizar para demostrar el teorema del número pentagonal al que se hace referencia anteriormente.
Dado un número entero positivo x , para probar si es un número pentagonal (no generalizado) podemos calcular
El número x es pentagonal si y sólo si n es un número natural . En ese caso x es el enésimo número pentagonal.
Para números pentagonales generalizados, basta con comprobar si 24 x + 1 es un cuadrado perfecto.
Para números pentagonales no generalizados, además de la prueba del cuadrado perfecto, también es necesario verificar si
Las propiedades matemáticas de los números pentagonales garantizan que estas pruebas sean suficientes para probar o refutar la pentagonalidad de un número. [1]
El Gnomon del enésimo número pentagonal es:
Un número pentagonal cuadrado es un número pentagonal que también es un cuadrado perfecto. [2]
Los primeros son:
0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 768141968219258186913 4354401, 73756990988431941623299373152801... ( entrada OEIS A036353)
