Transformada de Joukowsky

En matemáticas, un tipo de mapa conforme

Ejemplo de transformación de Joukowsky. El círculo de arriba se transforma en el perfil aerodinámico de Joukowsky de abajo.

En matemáticas aplicadas , la transformada de Joukowsky (a veces transcrita como Joukovsky , Joukowski o Zhukovsky ) es un mapa conforme que se ha utilizado históricamente para comprender algunos principios del diseño de perfiles aerodinámicos . Recibe su nombre en honor a Nikolai Zhukovsky , quien lo publicó en 1910. ^[1]

La transformación es

${\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},}$

donde es una variable compleja en el nuevo espacio y es una variable compleja en el espacio original. ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$

En aerodinámica , la transformada se utiliza para resolver el flujo potencial bidimensional alrededor de una clase de perfiles aerodinámicos conocidos como perfiles aerodinámicos de Joukowsky. Un perfil aerodinámico de Joukowsky se genera en el plano complejo ( plano -) aplicando la transformada de Joukowsky a un círculo en el plano -. Las coordenadas del centro del círculo son variables y, al variarlas, se modifica la forma del perfil aerodinámico resultante. El círculo encierra el punto (donde la derivada es cero) e interseca el punto Esto se puede lograr para cualquier posición central permitida variando el radio del círculo. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta =-1}$ ${\displaystyle \zeta =1.}$ ${\displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}$

Los perfiles aerodinámicos de Joukowsky tienen una cúspide en su borde de salida . Una aplicación conforme estrechamente relacionada, la transformada de Kármán-Trefftz , genera la clase más amplia de perfiles aerodinámicos de Kármán-Trefftz al controlar el ángulo del borde de salida. Cuando se especifica un ángulo del borde de salida de cero, la transformada de Kármán-Trefftz se reduce a la transformada de Joukowsky.

Transformación general de Joukowsky

La transformada de Joukowsky de cualquier número complejo es la siguiente: ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Entonces los componentes reales ( ) e imaginarios ( ) son: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\[2pt]y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Muestra de perfil aerodinámico Joukowsky

La transformación de todos los números complejos en el círculo unitario es un caso especial.

$${\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,}$$

Lo cual da

$${\displaystyle \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}$$

Por lo tanto, el componente real se convierte en y el componente imaginario se convierte en . ${\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }$ ${\textstyle y=\eta (1-1)=0}$

De esta manera, el círculo unitario complejo se asigna a una placa plana en la línea de números reales desde −2 hasta +2.

Las transformaciones de otros círculos crean una amplia gama de formas de perfil aerodinámico.

Campo de velocidad y circulación para el perfil aerodinámico de Joukowsky

La solución del flujo potencial alrededor de un cilindro circular es analítica y bien conocida. Es la superposición de un flujo uniforme , un doblete y un vórtice .

La velocidad conjugada compleja alrededor del círculo en el plano es ${\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}$ ${\displaystyle \zeta }$ $${\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}$$

dónde

• ${\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}$es la coordenada compleja del centro del círculo,
• ${\displaystyle V_{\infty }}$es la velocidad de corriente libre del fluido,

${\displaystyle \alpha }$es el ángulo de ataque del perfil aerodinámico con respecto al flujo de corriente libre,

• ${\displaystyle R}$es el radio del círculo, calculado utilizando , ${\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \Gamma }$es la circulación , encontrada utilizando la condición de Kutta , que se reduce en este caso a $${\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}$$

La velocidad compleja alrededor del perfil aerodinámico en el plano es, según las reglas de mapeo conforme y utilizando la transformación de Joukowsky, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}$$

Aquí , con y los componentes de velocidad en las direcciones y respectivamente ( con y con valores reales). A partir de esta velocidad, se pueden calcular otras propiedades de interés del flujo, como el coeficiente de presión y la sustentación por unidad de tramo. ${\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Transformada de Kármán-Trefftz

Ejemplo de una transformación de Kármán–Trefftz. El círculo de arriba en el plano se transforma en el perfil aerodinámico de Kármán–Trefftz de abajo, en el plano . Los parámetros utilizados son: y Nótese que el perfil aerodinámico en el plano se ha normalizado utilizando la longitud de la cuerda . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu _{x}=-0.08,}$ ${\displaystyle \mu _{y}=+0.08}$ ${\displaystyle n=1.94.}$ ${\displaystyle z}$

La transformada de Kármán-Trefftz es una función conforme estrechamente relacionada con la transformada de Joukowsky. Mientras que un perfil de Joukowsky tiene un borde de salida en forma de cúspide, un perfil de Kármán-Trefftz —que es el resultado de la transformación de un círculo en el plano α al plano α físico, análoga a la definición del perfil de Joukowsky— tiene un ángulo distinto de cero en el borde de salida, entre la superficie superior e inferior del perfil. Por lo tanto, la transformada de Kármán-Trefftz requiere un parámetro adicional: el ángulo del borde de salida. Esta transformada es ^{[2] [3]} ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha .}$

donde es una constante real que determina las posiciones donde , y es ligeramente menor que 2. El ángulo entre las tangentes de las superficies aerodinámicas superior e inferior en el borde de salida está relacionado con [ ^2] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle dz/d\zeta =0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}$

La derivada , necesaria para calcular el campo de velocidad, es ${\displaystyle dz/d\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.}$

Fondo

Primero, suma y resta 2 de la transformada de Joukowsky, como se indica arriba:

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}$

Dividiendo los lados izquierdo y derecho se obtiene

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}$

El lado derecho contiene (como factor) la ley de segunda potencia simple de la teoría de flujo potencial , aplicada en el borde de salida cerca de la teoría de mapeo conforme, se sabe que este mapa cuadrático cambia un semiplano en el espacio en un flujo potencial alrededor de una línea recta semi-infinita. Además, los valores de la potencia menores que 2 darán como resultado un flujo alrededor de un ángulo finito. Entonces, al cambiar la potencia en la transformada de Joukowsky a un valor ligeramente menor que 2, el resultado es un ángulo finito en lugar de una cúspide. Reemplazar 2 por en la ecuación anterior da ^[2] ${\displaystyle \zeta =+1.}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}$

que es la transformada de Kármán-Trefftz. Resolviendo para se obtiene en la forma de ecuación A . ${\displaystyle z}$

Perfiles aerodinámicos Joukowsky simétricos

En 1943, Hsue-shen Tsien publicó una transformación de un círculo de radio en un perfil aerodinámico simétrico que depende del parámetro y del ángulo de inclinación : ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}$

El parámetro da como resultado una placa plana cuando es cero y un círculo cuando es infinito; por lo tanto, corresponde al espesor del perfil aerodinámico. Además, el radio del cilindro . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle a=1+\epsilon }$

Notas

1. Joukowsky, NE (1910). "Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger". Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt (en alemán). 1 : 281–284 y (1912) 3 : 81–86.
2. Milne-Thomson, Louis M. (1973). Aerodinámica teórica (4.ª ed.). Dover Publ., págs. 128-131. ISBN 0-486-61980-X.
3. Blom, JJH (1981). "Algunas cantidades características de los perfiles de Karman-Trefftz" (Documento). Memorándum técnico de la NASA TM-77013.
4. Tsien, Hsue-shen (1943). "Perfiles aerodinámicos simétricos de Joukowsky en flujo de cizallamiento". Quarterly of Applied Mathematics . 1 (2): 130–248. doi : 10.1090/qam/8537 .

Referencias

• Anderson, John (1991). Fundamentos de aerodinámica (segunda edición). Toronto: McGraw–Hill. Págs. 195–208. ISBN . 0-07-001679-8.
• Zingg, DW (1989). "Cálculos de Euler con números de Mach bajos". NASA TM-102205.

Enlaces externos

• Applet de la NASA de transformación Joukowski
• Aplicación web interactiva Joukowsky Transform