Matrices de Krawtchouk

En matemáticas , las matrices de Krawtchouk son matrices cuyas entradas son valores de polinomios de Krawtchouk en puntos enteros no negativos. ^{[1] [2]} La matriz de Krawtchouk K ^{( N )} es una matriz ( N + 1) × ( N + 1) . Las primeras matrices de Krawtchouk son:

${\displaystyle K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\qquad K^{(1)}=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right],\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{array}}\right],\qquad K^{(3)}=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1&-3\\3&-1&-1&3\\1&-1&1&-1\end{array}}\right],}$

${\displaystyle K^{(4)}=\left[{\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&1\\4&2&0&-2&-4\\6&0&-2&0&6\\4&-2&0&2&-4\\1&-1&1&-1&1\end{array}}\right],\qquad K^{(5)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1&1\\5&3&1&-1&-3&-5\\10&2&-2&-2&2&10\\10&-2&-2&2&2&-10\\5&-3&1&1&-3&5\\1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right].}$

Definición

En general, para números enteros positivos , las entradas vienen dadas por la función generadora : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K_{ij}^{(N)}}$

${\displaystyle (1+v)^{N-j}\,(1-v)^{j}=\sum _{i}v^{i}K_{ij}^{(N)},}$

donde los índices de fila y columna van desde hasta . Explícitamente: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle K_{ij}^{(N)}=\sum _{k}(-1)^{k}{\binom {j}{k}}{\binom {N-j}{i-k}},}$

o en términos de los polinomios de Krawtchouk :

${\displaystyle K_{ij}^{(N)}=\kappa _{i}(j,N).}$

Los valores de una matriz de Krawchouk también se pueden calcular utilizando una relación de recurrencia. Al llenar la fila superior con unos y la columna más a la derecha con coeficientes binomiales alternos , las otras entradas vienen dadas por la suma de las entradas vecinas en la parte superior, superior derecha y derecha. ^[3]

Propiedades

Los polinomios de Krawtchouk son ortogonales con respecto a las distribuciones binomiales simétricas . ^[4] ${\displaystyle p=1/2}$

Como transformación , una matriz de Krawtchouk es una involución hasta escalar:

${\displaystyle (K_{ij}^{(N)})^{2}=2^{N}I.}$

Las matrices de Krawchouk tienen una descomposición LDU que involucra matrices de Pascal triangulares y una matriz diagonal de las potencias de 2. ^[5]

Los valores propios son y el determinante es . ^[5] ${\displaystyle \pm {\sqrt {2^{n}}}}$ ${\displaystyle (-2)^{n(n+1)/2}}$

Ver también

• polinomio de Krawtchouk
• matriz de Pascal

Referencias

1. Bosé, N. (1985). Filtros digitales: teoría y aplicaciones . Nueva York: Holanda Septentrional Elsevier. ISBN 0-444-00980-9.
2. Feinsilver, P.; Kocik, J. (2004). Polinomios de Krawtchouk y matrices de Krawtchouk . Avances recientes en probabilidad aplicada. Springer-Verlag. arXiv : quant-ph/0702073 . Código Bib : 2007quant.ph..2073F.
3. Feinsilver, P.; Kocik, J. (2007). "Matrices de Krawtchouk de paseos aleatorios clásicos y cuánticos". arXiv : quant-ph/0702173 .
4. "Clase Hahn: Definiciones". Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas .
5. Boyd, Geoff; Micchelli, Charles A.; Strang, Gilbert; Zhou, Ding-Xuan (2001). "Matrices binomiales". Avances en Matemática Computacional . 14 (4): 379–391. doi :10.1023/A:1012207124894. ISSN  1572-9044. S2CID  36314402.

enlaces externos

• Enciclopedia Krawtchouk