Ecuación del análisis de estabilidad.
La ecuación de Lyapunov , llamada así en honor al matemático ruso Aleksandr Lyapunov , es una ecuación matricial utilizada en el análisis de estabilidad de sistemas dinámicos lineales . [1] [2]
En particular, la ecuación de Lyapunov en tiempo discreto (también conocida como ecuación de Stein ) es ![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es una matriz hermitiana y es la transpuesta conjugada de , mientras que la ecuación de Lyapunov en tiempo continuo es ![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{H}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Aplicación a la estabilidad
En los siguientes teoremas , y y son simétricos. La notación significa que la matriz es definida positiva .![{\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Teorema (versión de tiempo continuo). Dado any , existe un único satisfactorio si y sólo si el sistema lineal es globalmente asintóticamente estable. La función cuadrática es una función de Lyapunov que se puede utilizar para verificar la estabilidad.![{\displaystyle Q>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {x}}=Hacha}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V(x)=x^{T}Px}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Teorema (versión en tiempo discreto). Dado any , existe un único satisfactorio si y sólo si el sistema lineal es globalmente asintóticamente estable. Como antes, es una función de Lyapunov.![{\displaystyle Q>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{T}Px}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aspectos computacionales de la solución.
La ecuación de Lyapunov es lineal, por lo que si contiene entradas se puede resolver a tiempo utilizando métodos estándar de factorización matricial.![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sin embargo, existen algoritmos especializados que pueden producir soluciones mucho más rápidamente debido a la estructura específica de la ecuación de Lyapunov. Para el caso discreto, se suele utilizar el método Schur de Kitagawa. [3] Para la ecuación continua de Lyapunov se puede utilizar el algoritmo de Bartels-Stewart . [4]
Solución analítica
Al definir el operador de vectorización como el apilamiento de las columnas de una matriz y como el producto de Kronecker de y , las ecuaciones de Lyapunov de tiempo continuo y tiempo discreto se pueden expresar como soluciones de una ecuación matricial. Además, si la matriz es "estable", la solución también se puede expresar como una integral (caso de tiempo continuo) o como una suma infinita (caso de tiempo discreto).![{\displaystyle \operatorname {vec} (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\otimes B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tiempo discreto
Usando el resultado que , se tiene![{\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es una matriz identidad conformable y es el conjugado complejo por elementos de . [5] Luego se puede resolver invirtiendo o resolviendo las ecuaciones lineales. Para conseguirlo , basta con remodelarlo adecuadamente.![{\displaystyle I_{n^{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\bar {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {vec} (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {vec} (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, si es estable (en el sentido de estabilidad de Schur , es decir, que tiene valores propios con magnitud menor que 1), la solución también se puede escribir como![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
A modo de comparación, considere el caso unidimensional, donde esto simplemente dice que la solución de es ![{\displaystyle (1-a^{2})x=q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Tiempo continuo
Usando nuevamente la notación del producto de Kronecker y el operador de vectorización, se tiene la ecuación matricial
![{\displaystyle (I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde denota la matriz obtenida mediante la conjugación compleja de las entradas de .![{\displaystyle {\bar {A}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera similar al caso del tiempo discreto, si es estable (en el sentido de la estabilidad de Hurwitz , es decir, tiene valores propios con partes reales negativas), la solución también se puede escribir como![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
lo cual se cumple porque
![{\displaystyle {\begin{aligned}AX+XA^{H}=&\int _{0}^{\infty }A{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{ H}\tau }+{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }A^{H}d\tau \\=&\int _ {0}^ {\infty }{\frac {d}{d\tau }}{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }d\tau \\=&{e }^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }{\bigg |}_{0}^{\infty }\\=&-Q.\end{aligned}} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A modo de comparación, considere el caso unidimensional, donde esto simplemente dice que la solución de es ![{\displaystyle 2ax=-q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Relación entre ecuaciones de Lyapunov discretas y continuas
Comenzamos con la dinámica lineal de tiempo continuo:
.
Y luego discretízalo de la siguiente manera:
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\approx {\frac {\mathbf {x} _{t+1}-\mathbf {x} _{t}}{\delta }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Donde indica un pequeño desplazamiento hacia adelante en el tiempo. Sustituyendo la ecuación inferior en la superior y barajando los términos, obtenemos una ecuación en tiempo discreto para .![{\displaystyle \delta >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {x} _ {t+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {x} _{t+1}=\mathbf {x} _{t}+\delta \mathbf {A} \mathbf {x} _{t}=(\mathbf {I} +\ delta \mathbf {A} )\mathbf {x} _{t}=\mathbf {B} \mathbf {x} _{t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Donde hemos definido . Ahora podemos usar la ecuación de Lyapunov en tiempo discreto para :![{\displaystyle \mathbf {B} \equiv \mathbf {I} +\delta \mathbf {A} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {B} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {M} \mathbf {B} -\mathbf {M} =-\delta \mathbf {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Introduciendo nuestra definición de , obtenemos:![{\displaystyle \mathbf {B} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )^{T}\mathbf {M} (\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )-\mathbf {M} =- \delta \mathbf {Q}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Expandiendo esta expresión se obtiene:
![{\displaystyle (\mathbf {M} +\delta \mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} )(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )-\mathbf {M} =\ delta (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {M} \mathbf {A} )+\delta ^{2}\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} \ mathbf {A} =-\delta \mathbf {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recordemos que es un pequeño desplazamiento en el tiempo. Dejar ir a cero nos acerca cada vez más a tener una dinámica continua, y en el límite la logramos. Es lógico que también debamos recuperar las ecuaciones de Lyapunov de tiempo continuo en el límite. Dividiendo por ambos lados y luego dejando que encontremos que:![{\displaystyle\delta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\delta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\delta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta \a 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {M} \mathbf {A} =-\mathbf {Q} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es la ecuación de Lyapunov en tiempo continuo, como se desea.
Ver también
Referencias
- ^ Parques, PC (1 de enero de 1992). "La teoría de la estabilidad de AM Lyapunov: 100 años después *". Revista IMA de Información y Control Matemático . 9 (4): 275–303. doi :10.1093/imamci/9.4.275. ISSN 0265-0754.
- ^ Simoncini, V. (1 de enero de 2016). "Métodos computacionales para ecuaciones matriciales lineales". Revisión SIAM . 58 (3): 377–441. doi :10.1137/130912839. hdl : 11585/586011 . ISSN 0036-1445.
- ^ Kitagawa, G. (1977). "Un algoritmo para resolver la ecuación matricial X = FX F' + S". Revista Internacional de Control . 25 (5): 745–753. doi :10.1080/00207177708922266.
- ^ Bartels, RH; Stewart, GW (1972). "Algoritmo 432: Solución de la ecuación matricial AX + XB = C". Com. ACM . 15 (9): 820–826. doi : 10.1145/361573.361582 .
- ^ Hamilton, J. (1994). Análisis de series temporales . Prensa de la Universidad de Princeton. Ecuaciones 10.2.13 y 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6.