La desigualdad de los hermanos Markov

En matemáticas , la desigualdad de los hermanos Markov es una desigualdad demostrada en la década de 1890 por los hermanos Andrey Markov y Vladimir Markov , dos matemáticos rusos. Esta desigualdad limita el máximo de las derivadas de un polinomio en un intervalo en términos del máximo del polinomio. ^[1] Para k = 1 fue demostrado por Andrey Markov, ^[2] y para k = 2,3,... por su hermano Vladimir Markov. ^[3]

La declaración

Sea P un polinomio de grado ≤ n . Entonces para todos los números enteros no negativos ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|P^{(k)}(x)|\leq {\frac {n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}}\max _{-1\leq x\leq 1}|P(x)|.}$

La igualdad se logra para los polinomios de Chebyshev de primera clase.

Desigualdades relacionadas

• La desigualdad de Bernstein (análisis matemático)
• Desigualdad de Remez

Aplicaciones

La desigualdad de Markov se utiliza para obtener límites inferiores en la teoría de la complejidad computacional mediante el llamado "método polinómico".

Referencias

1. Achiezer, NI (1992). Teoría de la aproximación . Nueva York: Dover Publications, Inc.
2. Markov, AA (1890). "Sobre una pregunta de DI Mendeleev". Borrar. Diablillo. Akád. Nauk. San Petersburgo . 62 : 1–24.
3. Markov, VA (1892). "О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке (Sobre funciones de mínima desviación de cero en un intervalo dado)". {{cite journal}}: Cite Journal requiere |journal=( ayuda ) Aparecido en alemán con un prólogo de Sergei Bernstein como Markov, VA (1916). "Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen". Matemáticas. Ana . 77 (2): 213–258. doi :10.1007/bf01456902. S2CID  122406663.