En el análisis real , una rama de las matemáticas , el teorema de Bernstein establece que toda función de valor real en la media línea [0, ∞) que es totalmente monótona es una mezcla de funciones exponenciales . En un caso especial importante, la mezcla es un promedio ponderado o valor esperado .
La monotonicidad total (a veces también la monotonicidad completa ) de una función f significa que f es continua en [0, ∞) , infinitamente diferenciable en (0, ∞) y satisface para todos los enteros no negativos n y para todo t > 0 . Otra convención sitúa la desigualdad opuesta en la definición anterior.
La afirmación del "promedio ponderado" se puede caracterizar así: hay una medida de Borel finita no negativa en [0, ∞) con una función de distribución acumulativa g tal que la integral es una integral de Riemann-Stieltjes .
En un lenguaje más abstracto, el teorema caracteriza las transformadas de Laplace de medidas positivas de Borel en [0, ∞) . De esta forma se le conoce como teorema de Bernstein-Widder , o teorema de Hausdorff-Bernstein-Widder . Felix Hausdorff ya había caracterizado anteriormente secuencias completamente monótonas . Estas son las secuencias que ocurren en el problema del momento de Hausdorff .
Las funciones no negativas cuya derivada es completamente monótona se denominan funciones de Bernstein . Cada función de Bernstein tiene la representación de Lévy-Khintchine : donde y es una medida en la media línea real positiva tal que
