Lema de Urysohn

Caracterización de espacios normales mediante funciones continuas.

En topología , el lema de Urysohn es un lema que establece que un espacio topológico es normal si y sólo si dos subconjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua . ^[1]

El lema de Urysohn se usa comúnmente para construir funciones continuas con varias propiedades en espacios normales. Es ampliamente aplicable ya que todos los espacios métricos y todos los espacios compactos de Hausdorff son normales. El lema está generalizado (y generalmente utilizado en la demostración) por el teorema de extensión de Tietze .

El lema lleva el nombre del matemático Pavel Samuilovich Urysohn .

Discusión

Dos conjuntos separados por barrios.

Se dice que dos subconjuntos y de un espacio topológico están separados por vecindades si hay vecindades de y de que son disjuntas. En particular y son necesariamente disjuntos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Se dice que dos subconjuntos simples y están separados por una función continua si existe una función continua desde el intervalo unitario tal que para todos y para todos Cualquier función de este tipo se llama función de Urysohn para y En particular y son necesariamente disjuntos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle f(b)=1}$ ${\displaystyle b\in B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

De ello se deduce que si dos subconjuntos y están separados por una función, también lo estarán sus cierres. También se deduce que si dos subconjuntos y están separados por una función, entonces y están separados por vecindades. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Un espacio normal es un espacio topológico en el que dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por vecindades. El lema de Urysohn establece que un espacio topológico es normal si y sólo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua.

Los conjuntos y no necesitan estar separados con precisión por , es decir, no es necesario ni garantizado que y para fuera y Un espacio topológico en el que cada dos subconjuntos cerrados disjuntos y están separados con precisión por una función continua es perfectamente normal . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \neq 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

El lema de Urysohn ha llevado a la formulación de otras propiedades topológicas como la "propiedad de Tychonoff" y los "espacios completamente de Hausdorff". Por ejemplo, un corolario del lema es que los espacios T 1 normales son Tychonoff .

Declaración formal

Un espacio topológico es normal si y sólo si, para dos subconjuntos disjuntos cerrados no vacíos y de existe un mapa continuo tal que y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(A)=\{0\}}$ ${\displaystyle f(B)=\{1\}.}$

Bosquejo de prueba

Ilustración de los primeros decorados construidos como parte de la prueba.

La prueba procede aplicando repetidamente la siguiente caracterización alternativa de normalidad. Si es un espacio normal, es un subconjunto abierto de y está cerrado, entonces existen un abierto y un cerrado tales que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subseteq Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}$

Sean y sean subconjuntos cerrados disjuntos de . La idea principal de la prueba es aplicar repetidamente esta caracterización de normalidad a y , continuando con los nuevos conjuntos construidos en cada paso. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{\complement }}$

Los conjuntos que construimos están indexados por fracciones diádicas . Para cada fracción diádica , construimos un subconjunto abierto y un subconjunto cerrado tal que: ${\displaystyle r\in (0,1)}$ ${\displaystyle U(r)}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$y para todos , ${\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}$para todos , ${\displaystyle r}$
• Para , . ${\displaystyle r<s}$ ${\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}$

Intuitivamente, los conjuntos se expanden hacia afuera en capas desde : ${\displaystyle U(r)}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}A&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complement }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complement }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complement }\end{array}}}$

Esta construcción procede por inducción matemática . Para el paso base, definimos dos conjuntos adicionales y . ${\displaystyle U(1)=B^{\complement }}$ ${\displaystyle V(0)=A}$

Ahora supongamos que y que los conjuntos y ya han sido construidos para . Tenga en cuenta que esto se cumple de forma vacía para . Como es normal, para cualquier , podemos encontrar un conjunto abierto y un conjunto cerrado tal que ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}$ ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}$

${\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}$

Luego se verifican las tres condiciones anteriores.

Una vez que tenemos estos conjuntos, definimos if for any ; en caso contrario para cada , donde denota el mínimo . Utilizando el hecho de que los racionales diádicos son densos , no es demasiado difícil demostrar que es continuo y tiene la propiedad y. Este paso requiere que los conjuntos funcionen. ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$ ${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}$ ${\displaystyle V(r)}$

El proyecto Mizar ha formalizado completamente y comprobado automáticamente una prueba del lema de Urysohn en el archivo URYSOHN3.

Ver también

• Calmante

Notas

1. Willard 1970 Sección 15.

Referencias

• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.

enlaces externos

• "Lema de Urysohn", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20