Notación cientifica

Método para escribir números con una gran cantidad de dígitos.

La notación científica es una forma de expresar números que son demasiado grandes o demasiado pequeños para escribirlos convenientemente en forma decimal , ya que hacerlo requeriría escribir una cadena de dígitos incómodamente larga. Puede denominarse forma científica o forma de índice estándar , o forma estándar en el Reino Unido. Esta notación de base diez es comúnmente utilizada por científicos, matemáticos e ingenieros, en parte porque puede simplificar ciertas operaciones aritméticas . En las calculadoras científicas , generalmente se lo conoce como modo de visualización "SCI".

En notación científica, los números distintos de cero se escriben en la forma

m × 10 ^norte

o m multiplicado por diez elevado a la potencia de n , donde n es un número entero y el coeficiente m es un número real distinto de cero (generalmente entre 1 y 10 en valor absoluto, y casi siempre se escribe como un decimal terminal ). El número entero n se llama exponente y el número real m se llama significado o mantisa . ^[1] El término "mantisa" puede ser ambiguo cuando se trata de logaritmos, porque también es el nombre tradicional de la parte fraccionaria del logaritmo común . Si el número es negativo, entonces un signo menos precede a m , como en la notación decimal ordinaria. En notación normalizada, el exponente se elige de modo que el valor absoluto (módulo) del significado m sea al menos 1 pero menor que 10.

La coma flotante decimal es un sistema aritmético informático estrechamente relacionado con la notación científica.

Historia

Notación normalizada

Cualquier número real se puede escribir en la forma m × 10 ⁿ^ de muchas maneras: por ejemplo, 350 se puede escribir como3,5 × 10 ² o35 × 10 ¹ o350 × 10 ⁰ .

En notación científica normalizada (llamada "forma estándar" en el Reino Unido), el exponente n se elige de modo que el valor absoluto de m siga siendo al menos uno pero menos de diez ( 1 ≤ | m | < 10 ). Así, 350 se escribe como3,5 × 10 ² . Esta forma permite una fácil comparación de números: los números con exponentes más grandes son (debido a la normalización) más grandes que aquellos con exponentes más pequeños, y la resta de exponentes da una estimación del número de órdenes de magnitud que separan los números. También es la forma que se requiere cuando se utilizan tablas de logaritmos comunes . En notación normalizada, el exponente n es negativo para un número con valor absoluto entre 0 y 1 (por ejemplo, 0,5 se escribe como5 × 10-1 ⁾ . El 10 y el exponente a menudo se omiten cuando el exponente es 0. Para una serie de números que se van a sumar o restar (o comparar de otro modo), puede ser conveniente usar el mismo valor de m para todos los elementos de la serie.

La forma científica normalizada es la forma típica de expresión de grandes números en muchos campos, a menos que se desee una forma no normalizada o normalizada de manera diferente, como la notación de ingeniería . La notación científica normalizada a menudo se denomina notación exponencial , aunque este último término es más general y también se aplica cuando m no está restringido al rango de 1 a 10 (como en la notación de ingeniería, por ejemplo) y a bases distintas de 10 (por ejemplo, 3,15 × 2 ²⁰^ ).

Notación de ingeniería

La notación de ingeniería (a menudo denominada "ENG" en las calculadoras científicas) se diferencia de la notación científica normalizada en que el exponente n está restringido a múltiplos de 3. En consecuencia, el valor absoluto de m está en el rango 1 ≤ | metro | < 1000, en lugar de 1 ≤ | metro | < 10. Aunque similar en concepto, la notación de ingeniería rara vez se llama notación científica. La notación de ingeniería permite que los números coincidan explícitamente con sus prefijos SI correspondientes , lo que facilita la lectura y la comunicación oral. Por ejemplo,12,5 × 10 ⁻⁹  m puede leerse como "doce punto cinco nanómetros" y escribirse como12,5 nm , mientras que su equivalente en notación científica1,25 × 10 ⁻⁸  m probablemente se leería como "un punto dos cinco por diez a ocho metros negativos".

Personajes importantes

Una cifra significativa es un dígito de un número que aumenta su precisión. Esto incluye todos los números distintos de cero, los ceros entre dígitos significativos y los ceros indicados como significativos . Los ceros iniciales y finales no son dígitos significativos porque existen sólo para mostrar la escala del número. Desafortunadamente, esto conduce a la ambigüedad. El númeroPor lo general, se lee 1 230 400 con cinco cifras significativas: 1, 2, 3, 0 y 4, y los dos últimos ceros sirven solo como marcadores de posición y no agregan precisión. Sin embargo, se utilizaría el mismo número si los dos últimos dígitos también se midieran con precisión y se descubriera que equivalieran a 0, es decir, siete cifras significativas.

Cuando un número se convierte a notación científica normalizada, se reduce a un número entre 1 y 10. Todos los dígitos significativos permanecen, pero los ceros de reserva ya no son necesarios. De este modo1 230 400 se convertirían en1,2304 × 10 ⁶ si tuviera cinco dígitos significativos. Si el número fuera conocido con seis o siete cifras significativas, se mostraría como1.230 40 × 10 ⁶ o1.230 400 × 10 ⁶ . Por tanto, una ventaja adicional de la notación científica es que el número de cifras significativas es inequívoco.

Dígitos finales estimados

En las mediciones científicas es habitual registrar todos los dígitos definitivamente conocidos de la medición y estimar al menos un dígito adicional si hay alguna información disponible sobre su valor. El número resultante contiene más información de la que tendría sin el dígito adicional, que puede considerarse un dígito significativo porque transmite cierta información que conduce a una mayor precisión en las mediciones y en las agregaciones de mediciones (sumándolas o multiplicándolas).

Se puede transmitir información adicional sobre la precisión mediante notación adicional. A menudo resulta útil saber qué tan exactos son el dígito o dígitos finales. Por ejemplo, el valor aceptado de la masa del protón se puede expresar correctamente como1,672 621 923 69 (51) × 10 ⁻²⁷  kg , que es la abreviatura de(1,672 621 923 69 ± 0,000 000 000 51 ) × 10 ⁻²⁷  kg . Sin embargo, todavía no está claro si el error (5,1 × 10 ⁻³⁷ en este caso) es el error máximo posible, error estándar o algún otro intervalo de confianza .

notación mi

Las calculadoras y los programas de computadora generalmente presentan números muy grandes o pequeños usando notación científica, y algunos pueden configurarse para presentar todos los números de manera uniforme de esa manera. Debido a que los exponentes en superíndice como 10 ⁷ pueden ser incómodos de mostrar o escribir, la letra "E" o "e" (para "exponente") se usa a menudo para representar "diez veces elevado a la potencia de", de modo que la notación m  E  n para un significado decimal m y un exponente entero n significa lo mismo que m × 10 ⁿ . Por ejemplo6.022 × 10 ²³ se escribe como6.022E23o6.022e23, y1,6 × 10 ⁻³⁵ se escribe como1.6E-35o1.6e-35. Si bien es común en la producción por computadora, algunas guías de estilo desaconsejan esta versión abreviada de notación científica para los documentos publicados. ^{[2] [3]}

Los lenguajes de programación más populares, incluidos Fortran , C / C++ , Python y JavaScript , utilizan esta notación "E", que proviene de Fortran y estuvo presente en la primera versión lanzada para IBM 704 en 1956. ^[4] La notación E fue ya utilizado por los desarrolladores del sistema operativo SHARE (SOS) para IBM 709 en 1958. ^[5] Las versiones posteriores de Fortran (al menos desde FORTRAN IV a partir de 1961) también usan "D" para indicar números de doble precisión en notación científica, ^[6] y los compiladores Fortran más nuevos usan "Q" para indicar precisión cuádruple . ^[7] El lenguaje de programación MATLAB admite el uso de "E" o "D".

El lenguaje de programación ALGOL 60 (1960) utiliza un subíndice diez " ₁₀ " en lugar de la letra "E", por ejemplo: . ^{[8] [9]} Esto presentó un desafío para los sistemas informáticos que no proporcionaban dicho carácter, por lo que ALGOL W (1966) reemplazó el símbolo por una comilla simple, por ejemplo , ^[10] y algunas variantes soviéticas de Algol permitieron el uso de la Letra cirílica " ю ", por ejemplo . Posteriormente, el lenguaje de programación ALGOL 68 proporcionó una variedad de caracteres: , , , o . ^[11] El carácter ALGOL " ₁₀ " se incluyó en la codificación de texto soviética GOST 10859 (1964) y se agregó a Unicode 5.2 (2009) como U+23E8 ⏨ SÍMBOLO EXPONENTE DECIMAL . ^[12]6.02210236.022'+236.022ю+23Ee\⊥10

Algunos lenguajes de programación utilizan otros símbolos. Por ejemplo, Simula usa &(o &&por mucho tiempo ), como en 6.022&23. ^[13] Mathematica admite la notación taquigráfica 6.022*^23(reservando la letra Epara la constante matemática e ).

Pantalla de una calculadora Texas Instruments TI-84 Plus que muestra la constante de Avogadro con tres cifras significativas en notación E

Las primeras calculadoras de bolsillo que soportaban notación científica aparecieron en 1972. ^[14] Las pantallas de las calculadoras de bolsillo de la década de 1970 no mostraban un símbolo explícito entre significado y exponente; en su lugar, uno o más dígitos se dejaron en blanco (p. ej. 6.022 23, como se ve en el HP-25 ), o se reservaron un par de dígitos más pequeños y ligeramente elevados para el exponente (p. ej. , como se ve en el Commodore PR100 ). En 1976, Jim Davidson, usuario de la calculadora Hewlett-Packard, acuñó el término decapower para el exponente en notación científica para distinguirlo de los exponentes "normales", y sugirió la letra "D" como separador entre significado y exponente en números escritos a máquina (por ejemplo, ); estos ganaron algo de popularidad en la comunidad de usuarios de calculadoras programables. ^[15] Las letras "E" o "D" fueron utilizadas como separador de notación científica por las computadoras de bolsillo Sharp lanzadas entre 1987 y 1995, la "E" se usó para números de 10 dígitos y la "D" se usó para números dobles de 20 dígitos. números de precisión. ^[16] Las series de calculadoras Texas Instruments TI-83 y TI-84 (1996-presente) utilizan una pequeña mayúscula para el separador. ^[17]6.022 236.022D23 E

En 1962, Ronald O. Whitaker de Rowco Engineering Co. propuso una nomenclatura de sistema de potencia de diez en la que el exponente estaría rodeado por un círculo; por ejemplo, 6,022 × 10 ³ se escribiría como "6,022③". ^[18]

Uso de espacios

En notación científica normalizada, en notación E y en notación de ingeniería, el espacio (que en composición tipográfica puede estar representado por un espacio de ancho normal o un espacio delgado ) que está permitido solo antes y después de "×" o delante de "E". A veces se omite, aunque es menos común hacerlo antes del carácter alfabético. ^[19]

Más ejemplos de notación científica

• La masa de un electrón es aproximadamente0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 356  kilogramos . ^[20] En notación científica, esto se escribe9.109 383 56 × 10 ⁻³¹  kg .
• La masa de la Tierra es aproximadamente5 972 400 000 000 000 000 000 000  kilogramos . ^[21] En notación científica, esto se escribe5,9724 × 10 ²⁴  kg .
• La circunferencia de la Tierra es aproximadamente40 000 000  m . ^[22] En notación científica, esto es4 × 107m .^​ ​ En notación de ingeniería, esto se escribe40 × 106m .^​ ​ En el estilo de escritura SI , esto puede escribirse40 milímetros (40 megametros ).
• Una pulgada se define exactamente como 25,4 milímetros . Usando notación científica, este valor se puede expresar uniformemente con cualquier precisión deseada, desde la décima de milímetro más cercana. 2,54 × 10 ¹  mm al nanómetro más cercano 2,540 0000 × 10 ¹  mm , o más.
• La hiperinflación significa que se pone en circulación demasiado dinero, tal vez imprimiendo billetes, en busca de muy pocos bienes. A veces se define como una inflación del 50% o más en un solo mes. En tales condiciones, el dinero pierde rápidamente su valor. Algunos países han tenido eventos de inflación de 1 millón por ciento o más en un solo mes, lo que generalmente resulta en el rápido abandono de la moneda. Por ejemplo, en noviembre de 2008 la tasa de inflación mensual del dólar de Zimbabwe alcanzó el 79,6 mil millones por ciento; el valor aproximado con tres cifras significativas sería7,96 × 10 ¹⁰  %, ^{[23] [24]} o más simplemente una tasa de7,96 × 10 ⁸ .

Convertir números

Convertir un número en estos casos significa convertir el número a notación científica, convertirlo nuevamente a forma decimal o cambiar la parte exponente de la ecuación. Ninguno de estos altera el número real, sólo cómo se expresa.

Decimal a científico

Primero, mueva el punto separador decimal suficientes lugares, n , para colocar el valor del número dentro del rango deseado, entre 1 y 10 para notación normalizada. Si el decimal se movió hacia la izquierda, agregue ; A la derecha, . para representar el numero× 10n× 10−n1.230.400 en notación científica normalizada, el separador decimal se movería 6 dígitos hacia la izquierda y se agregaría, lo que resultaría en× 1061,2304 × 10 ⁶ . El número−0.004 0321 tendría su separador decimal desplazado 3 dígitos hacia la derecha en lugar de hacia la izquierda y produciría−4.0321 × 10 ⁻³ como resultado.

Científico a decimal

Para convertir un número de notación científica a notación decimal, primero elimine el extremo y luego mueva el separador decimal n dígitos hacia la derecha ( n positivo) o hacia la izquierda ( n negativo ). El número× 10n1.2304 × 10 ⁶ tendría su separador decimal desplazado 6 dígitos a la derecha y se convertiría en1.230.400 , mientras−4.0321 × 10 ⁻³ tendría su separador decimal movido 3 dígitos hacia la izquierda y sería−0,004 0321 .

Exponencial

La conversión entre diferentes representaciones de notación científica del mismo número con diferentes valores exponenciales se logra realizando operaciones opuestas de multiplicación o división por una potencia de diez en el significado y una resta o suma de uno en la parte del exponente. El separador decimal en el significado se desplaza x lugares hacia la izquierda (o derecha) y x se suma (o se resta) al exponente, como se muestra a continuación.

1.234 × 10 ³ =12,34 × 10 ² =123,4 × 10 ¹ = 1234

Operaciones básicas

Dados dos números en notación científica,

$${\displaystyle x_{0}=m_{0}\times 10^{n_{0}}}$$

$${\displaystyle x_{1}=m_{1}\times 10^{n_{1}}}$$

La multiplicación y la división se realizan utilizando las reglas de operación con exponenciación :

$${\displaystyle x_{0}x_{1}=m_{0}m_{1}\times 10^{n_{0}+n_{1}}}$$

$${\displaystyle {\frac {x_{0}}{x_{1}}}={\frac {m_{0}}{m_{1}}}\times 10^{n_{0}-n_{1}}}$$

Algunos ejemplos son:

$${\displaystyle 5.67\times 10^{-5}\times 2.34\times 10^{2}\approx 13.3\times 10^{-5+2}=13.3\times 10^{-3}=1.33\times 10^{-2}}$$

$${\displaystyle {\frac {2.34\times 10^{2}}{5.67\times 10^{-5}}}\approx 0.413\times 10^{2-(-5)}=0.413\times 10^{7}=4.13\times 10^{6}}$$

La suma y la resta requieren que los números se representen usando la misma parte exponencial, de modo que el significado se pueda simplemente sumar o restar:

${\displaystyle x_{0}=m_{0}\times 10^{n_{0}}}$y con ${\displaystyle x_{1}=m_{1}\times 10^{n_{1}}}$ ${\displaystyle n_{0}=n_{1}}$

A continuación, suma o resta los significados:

$${\displaystyle x_{0}\pm x_{1}=(m_{0}\pm m_{1})\times 10^{n_{0}}}$$

Un ejemplo:

$${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$$

Otras bases

Si bien la base diez se usa normalmente para la notación científica, también se pueden usar potencias de otras bases, ^[25] siendo la base 2 la siguiente más utilizada.

Por ejemplo, en notación científica de base 2, el número 1001 _b en binario (=9 _d ) se escribe como 1.001 _b × 2 _d ^{11 _b} o 1.001 _b × 10 _b ^{11 _b} usando números binarios (o más corto 1.001 × 10 ¹¹ si El contexto binario es obvio). ^{[ cita necesaria ]} En notación E, esto se escribe como 1.001 _b E11 _b (o más corto: 1.001E11) con la letra "E" que ahora significa "dos veces (10 _b ) elevado a la potencia" aquí. Para distinguir mejor este exponente de base 2 de un exponente de base 10, a veces también se indica un exponente de base 2 utilizando la letra "B" en lugar de "E", ^[26] una notación abreviada propuesta originalmente por Bruce Alan. Martin del Laboratorio Nacional Brookhaven en 1968, ^[27] como en 1.001 _b B11 _b (o más corto: 1.001B11). A modo de comparación, el mismo número en representación decimal : 1,125 × 2 ³ (usando representación decimal) o 1,125B3 (aún usando representación decimal). Algunas calculadoras utilizan una representación mixta para números binarios de coma flotante, donde el exponente se muestra como un número decimal incluso en modo binario, por lo que lo anterior se convierte en 1,001 _b × 10 _b ^{3 _d} o más corto, 1,001B3. ^[26]

Esto está estrechamente relacionado con la representación de punto flotante de base 2 comúnmente utilizada en aritmética informática y el uso de prefijos binarios IEC (por ejemplo, 1B10 para 1×2 ¹⁰ ( kibi ), 1B20 para 1×2 ²⁰ ( mebi ), 1B30 para 1×2 ³⁰ ( gibi ), 1B40 para 1×2 ⁴⁰ ( tebi )).

Similar a "B" (o "b" ^[28] ), las letras "H" ^[26] (o "h" ^[28] ) y "O" ^[26] (o "o", ^[28] o " C" ^[26] ) a veces también se utilizan para indicar multiplicados por 16 u 8 elevados a la potencia, como en 1,25 = 1,40 _h × 10 _h ^{0 _h} = 1,40H0 = 1,40h0, o 98000 = 2,7732 _o × 10 _o ^{5 _o} = 2,7732o5 = 2,7732C5. ^[26]

Otra convención similar para denotar exponentes de base 2 es usar la letra "P" (o "p", para "potencia"). En esta notación, el significado siempre debe ser hexadecimal, mientras que el exponente siempre debe ser decimal. ^[29] Esta notación se puede producir mediante implementaciones de la familia de funciones printf siguiendo la especificación C99 y ( especificación única de Unix ) el estándar IEEE Std 1003.1 POSIX , cuando se utilizan los especificadores de conversión %a o %A . ^{[29] [30] [31]} A partir de C++ 11 , las funciones de E/S de C++ también podían analizar e imprimir la notación P. Mientras tanto, la notación ha sido adoptada completamente por el estándar del lenguaje desde C++17 . ^[32] Swift de Apple también lo admite. ^[33] También lo requiere el estándar binario de punto flotante IEEE 754-2008 . Ejemplo: 1.3DEp42 representa 1.3DE _h × 2 ⁴² .

La notación de ingeniería puede verse como una notación científica de base 1000.

Ver también

• Notación posicional
• ISO/IEC 80000 : una norma internacional que guía el uso de cantidades físicas y unidades de medida en la ciencia.
• Números de Suzhou : un sistema de numeración chino utilizado anteriormente en el comercio, con el orden de magnitud escrito debajo del significado.
• Código RKM : una notación para especificar valores de resistencias y condensadores, con símbolos para potencias de 1000

Referencias

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15. Jim Davidson acuñó el decapower y recomendó el separador "D" en el boletín 65 Notes para los usuarios de Hewlett-Packard HP-65 , y Richard C. Vanderburgh los promocionó en el boletín 52-Notes para los usuarios de Texas Instruments SR-52 .
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16. En concreto, los modelos PC-1280 (1987), PC-1470U (1987), PC-1475 (1987), PC-1480U (1988), PC-1490U (1990), PC-1490UII (1991), PC-E500 ( 1988), PC-E500S (1995), PC-E550 (1990), PC-E650 (1993) y PC-U6000 (1993).
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enlaces externos

• Convertidor de notación decimal a científica
• Convertidor de notación científica a decimal
• Notación científica en la vida cotidiana
• Un ejercicio de conversión hacia y desde notación científica.
• Convertidor de notación científica
• Capítulo de Notación científica del libro electrónico gratuito Lecciones sobre circuitos eléctricos Vol. 1 de CC y la serie Lecciones sobre circuitos eléctricos.