Yo de Moran

Medida de autocorrelación espacial

Los cuadrados blancos y negros están perfectamente dispersos, por lo que el valor I de Moran sería -1 si se utiliza una definición de torre vecina. Si los cuadrados blancos se apilaran en una mitad del tablero y los cuadrados negros en la otra, el valor I de Moran se acercaría a +1 a medida que N aumenta. Una disposición aleatoria de los colores de los cuadrados daría al valor I de Moran un valor cercano a 0.

En estadística, el I de Moran es una medida de autocorrelación espacial desarrollada por Patrick Alfred Pierce Moran . ^{[1] [2] La autocorrelación espacial se caracteriza por una correlación en una señal entre ubicaciones cercanas en el espacio. La autocorrelación espacial es más compleja que} la autocorrelación unidimensional porque la correlación espacial es multidimensional (es decir, 2 o 3 dimensiones del espacio) y multidireccional.

Moran globalI

El índice de Moran global es una medida de la agrupación general de los datos espaciales. Se define como

${\displaystyle I={\frac {N}{W}}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

dónde

• ${\displaystyle N}$es el número de unidades espaciales indexadas por y ; ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle x}$es la variable de interés;
• ${\displaystyle {\bar {x}}}$es la media de ; ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle w_{ij}}$son los elementos de una matriz de pesos espaciales con ceros en la diagonal (es decir, ); ${\displaystyle w_{ii}=0}$
• y es la suma de todos (es decir ). ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w_{ij}}$ ${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{w_{ij}}}$

Estadística I de Moran calculada para diferentes patrones espaciales. Utilizando vecinos " de torre " para cada celda de la cuadrícula, estableciendo vecinos de y luego normalizando la matriz de ponderación por filas. La parte superior izquierda muestra la anticorrelación que da un I negativo. La parte superior derecha muestra un gradiente espacial que da un I positivo grande . La parte inferior izquierda muestra datos aleatorios que dan un valor de I cercano a 0 (o ). La parte inferior derecha muestra una "mancha de tinta" o patrón de propagación con autocorrelación positiva. ${\displaystyle w_{ij}=1}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -1/(N-1)\simeq -0.04}$

Definición de la matriz de pesos espaciales

El valor de puede depender bastante de los supuestos incorporados en la matriz de ponderaciones espaciales . La matriz es necesaria porque, para abordar la autocorrelación espacial y también modelar la interacción espacial, necesitamos imponer una estructura para restringir el número de vecinos a considerar. Esto está relacionado con la primera ley de geografía de Tobler , que establece que Todo depende de todo lo demás, pero más aún de las cosas más cercanas ; en otras palabras, la ley implica una función de decaimiento de la distancia espacial , de modo que, aunque todas las observaciones tienen una influencia en todas las demás observaciones, después de cierto umbral de distancia esa influencia puede ignorarse. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle w_{ij}}$

La idea es construir una matriz que refleje con precisión sus suposiciones sobre el fenómeno espacial particular en cuestión. Un enfoque común es dar un peso de 1 si dos zonas son vecinas y 0 en caso contrario, aunque la definición de "vecinos" puede variar. Otro enfoque común podría ser dar un peso de 1 a los vecinos más cercanos y 0 en caso contrario. Una alternativa es utilizar una función de decaimiento de la distancia para asignar pesos. A veces, la longitud de un borde compartido se utiliza para asignar diferentes pesos a los vecinos. La selección de la matriz de pesos espaciales debe guiarse por la teoría sobre el fenómeno en cuestión. El valor de es bastante sensible a los pesos y puede influir en las conclusiones que se extraen sobre un fenómeno, especialmente cuando se utilizan distancias. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$

Valor esperado

El valor esperado del I de Moran bajo la hipótesis nula de que no hay autocorrelación espacial es

${\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}$

La distribución nula utilizada para esta expectativa es que la entrada se permuta mediante una permutación elegida de manera uniforme al azar (y la expectativa es sobreelegir la permutación). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$

En muestras de gran tamaño (es decir, cuando N se acerca al infinito), el valor esperado se acerca a cero.

Su varianza es igual

${\displaystyle \operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)W^{2}}}-(E(I))^{2}}$

dónde

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}}$

${\displaystyle S_{2}=\sum _{i}\left(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji}\right)^{2}}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle S_{4}=(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3W^{2}}$

${\displaystyle S_{5}=(N^{2}-N)S_{1}-2NS_{2}+6W^{2}}$^[3]

Los valores significativamente inferiores a -1/(N-1) indican una autocorrelación espacial negativa y los valores significativamente superiores a -1/(N-1) indican una autocorrelación espacial positiva. Para la prueba de hipótesis estadística, los valores de I de Moran se pueden transformar en puntuaciones z .

Los valores de I varían entre y ^[4] donde y son los valores propios mínimo y máximo correspondientes de la matriz de ponderación. Para una matriz normalizada por filas . ${\displaystyle {\frac {N}{W}}w_{min}}$ ${\displaystyle {\frac {N}{W}}w_{max}}$ ${\displaystyle w_{min}}$ ${\displaystyle w_{max}}$ ${\displaystyle {\frac {N}{W}}=1}$

El I de Moran está inversamente relacionado con el C de Geary , pero no es idéntico. El I de Moran es una medida de autocorrelación espacial global, mientras que el C de Geary es más sensible a la autocorrelación espacial local.

Moran localI

Agrupaciones del porcentaje estimado de personas en situación de pobreza por condado en los Estados Unidos contiguos en 2020, calculados utilizando el índice Anselin Local Moran.

El análisis de autocorrelación espacial global produce solo una estadística para resumir toda el área de estudio. En otras palabras, el análisis global supone homogeneidad. Si esa suposición no se cumple, entonces tener solo una estadística no tiene sentido, ya que la estadística debería diferir en el espacio.

Además, incluso si no hay autocorrelación global o agrupamiento, aún podemos encontrar agrupamientos a nivel local utilizando el análisis de autocorrelación espacial local. El hecho de que el I de Moran sea una suma de productos cruzados individuales es explotado por los "indicadores locales de asociación espacial" (LISA) para evaluar el agrupamiento en esas unidades individuales calculando el I de Moran local para cada unidad espacial y evaluando la significancia estadística para cada I _i . A partir de la ecuación del I de Moran global , podemos obtener:

${\displaystyle I_{i}={\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{m_{2}}}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{j}-{\bar {x}})}$

dónde:

${\displaystyle m_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N}}}$

entonces,

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{N}{\frac {I_{i}}{N}}}$

I es la I de Moran global que mide la autocorrelación global, I _i es local y N es el número de unidades de análisis en el mapa.

Las LISA se pueden calcular en GeoDa y ArcGIS Pro , que utiliza el I de Moran local , ^{[5] [6]} propuesto por Luc Anselin en 1995. ^[7]

Usos

El I de Moran se utiliza ampliamente en los campos de la geografía y la ciencia de la información geográfica . Algunos ejemplos incluyen:

• El análisis de las diferencias geográficas en las variables de salud. ^[8]
• Caracterización del impacto de las concentraciones de litio en el agua pública sobre la salud mental. ^[9]
• En dialectología, para medir la importancia de la variación lingüística regional. ^[10]
• Definición de una función objetivo para la segmentación significativa del terreno para estudios geomorfológicos ^[11]

Véase también

• Conceptos y técnicas de la geografía moderna
• Decaimiento de la distancia
• La C de Geary
• Indicadores de asociación espacial
• Heterogeneidad espacial
• Primera ley de geografía de Tobler
• Coeficiente de Wartenberg

Referencias

1. Moran, PAP (1950). "Notas sobre fenómenos estocásticos continuos". Biometrika . 37 (1): 17–23. doi :10.2307/2332142. JSTOR  2332142. PMID  15420245.
2. Li, Hongfei; Calder, Catherine A .; Cressie, Noel (2007). "Más allá de Moran's I : Pruebas de dependencia espacial basadas en el modelo autorregresivo espacial". Análisis geográfico . 39 (4): 357–375. doi :10.1111/j.1538-4632.2007.00708.x.
3. Cliff y Ord (1981), Procesos espaciales, Londres
4. de Jong, P., Sprenger, C. y van Veen, F., 1984. Sobre valores extremos de I de Moran y c de Geary. Análisis geográfico, 16(1), pp.17-24.
5. Anselin, Luc (2005). "Explorando datos espaciales con GeoDa: un libro de trabajo" (PDF) . Laboratorio de análisis espacial. pág. 138.
6. "Análisis de conglomerados y valores atípicos (I de Moran local de Anselin) (Estadística espacial)". ESRI . Consultado el 28 de mayo de 2024 .
7. Anselin, Luc (1995). "Indicadores locales de asociación espacial—LISA". Análisis geográfico . 27 (2): 93–115. doi : 10.1111/j.1538-4632.1995.tb00338.x .
8. Getis, Arthur (3 de septiembre de 2010). "El análisis de la asociación espacial mediante el uso de estadísticas de distancia". Análisis geográfico . 24 (3): 189–206. doi : 10.1111/j.1538-4632.1992.tb00261.x .
9. Helbich, M; Leitner, M; Kapusta, ND (2012). "Examen geoespacial del litio en el agua potable y mortalidad por suicidio". Int J Health Geogr . 11 (1): 19. doi : 10.1186/1476-072X-11-19 . PMC 3441892. PMID  22695110 . 
10. Grieve, Jack (2011). "Un análisis regional de la tasa de contracción en el inglés americano estándar escrito". Revista Internacional de Lingüística de Corpus . 16 (4): 514–546. doi :10.1075/ijcl.16.4.04gri.
11. Alvioli, M.; Marchesini, I.; Reichenbach, P.; Rossi, M.; Ardizzone, F.; Fiorucci, F.; Guzzetti, F. (2016). "Delineación automática de unidades de pendiente geomorfológicas con r.slopeunits v1.0 y su optimización para el modelado de susceptibilidad a deslizamientos". Desarrollo de modelos geocientíficos . 9 : 3975–3991. doi : 10.5194/gmd-9-3975-2016 .