Curva que llena el espacio

Curva cuyo rango contiene el cuadrado unitario

Tres iteraciones de la construcción de la curva de Peano , cuyo límite es una curva que llena el espacio.

En el análisis matemático , una curva que llena el espacio es una curva cuyo rango alcanza cada punto en una región de dimensiones superiores, típicamente el cuadrado unitario (o más generalmente un hipercubo unitario de n dimensiones ). Debido a que Giuseppe Peano (1858-1932) fue el primero en descubrir una, las curvas que llenan el espacio en el plano bidimensional a veces se denominan curvas de Peano , pero esa frase también se refiere a la curva de Peano , el ejemplo específico de una curva que llena el espacio encontrada por Peano.

Las curvas FASS estrechamente relacionadas (curvas que llenan el espacio, que se autoevaden, simples y autosimilares) pueden considerarse como aproximaciones finitas de un cierto tipo de curvas que llenan el espacio. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

Definición

Intuitivamente, una curva en dos o tres dimensiones (o más) puede considerarse como la trayectoria de un punto en continuo movimiento. Para eliminar la vaguedad inherente de esta noción, Jordan introdujo en 1887 la siguiente definición rigurosa, que desde entonces se ha adoptado como descripción precisa de la noción de curva :

Una curva (con puntos finales) es una función continua cuyo dominio es el intervalo unitario [0, 1] .

En la forma más general, el rango de dicha función puede estar en un espacio topológico arbitrario , pero en los casos más comúnmente estudiados, el rango estará en un espacio euclidiano como el plano bidimensional (una curva plana ) o el espacio tridimensional ( una curva espacial ).

En ocasiones, la curva se identifica con la imagen de la función (el conjunto de todos los valores posibles de la función), en lugar de con la función misma. También es posible definir curvas sin puntos finales como una función continua en la recta real (o en el intervalo unitario abierto  (0, 1) ).

Historia

En 1890, Giuseppe Peano descubrió una curva continua, ahora llamada curva de Peano , que pasa por cada punto del cuadrado unitario. ^[7] Su propósito era construir una aplicación continua del intervalo unitario sobre el cuadrado unitario . Peano estaba motivado por el resultado contraintuitivo anterior de Georg Cantor de que el número infinito de puntos en un intervalo unitario tiene la misma cardinalidad que el número infinito de puntos en cualquier variedad de dimensión finita , como el cuadrado unitario. El problema que Peano resolvió fue si dicha aplicación podía ser continua; es decir, una curva que llenara un espacio. La solución de Peano no establece una correspondencia biunívoca continua entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario, y de hecho dicha correspondencia no existe (ver § Propiedades a continuación).

Era común asociar las nociones vagas de delgadez y unidimensionalidad a las curvas; todas las curvas que se encuentran normalmente son diferenciables por partes (es decir, tienen derivadas continuas por partes), y dichas curvas no pueden llenar todo el cuadrado unitario. Por lo tanto, se descubrió que la curva de Peano que llena el espacio era altamente contraintuitiva.

A partir del ejemplo de Peano, fue fácil deducir curvas continuas cuyos rangos contenían el hipercubo n -dimensional (para cualquier entero positivo n ). También fue fácil extender el ejemplo de Peano a curvas continuas sin puntos finales, que llenaban todo el espacio euclidiano n -dimensional (donde n es 2, 3 o cualquier otro entero positivo).

La mayoría de las curvas de relleno de espacio más conocidas se construyen iterativamente como el límite de una secuencia de curvas continuas lineales por partes , cada una de las cuales se aproxima más al límite de relleno de espacio.

El artículo pionero de Peano no contenía ilustraciones de su construcción, que se define en términos de expansiones ternarias y un operador de espejo. Pero la construcción gráfica le resultaba perfectamente clara: hizo un mosaico ornamental que mostraba una imagen de la curva en su casa de Turín. El artículo de Peano también termina observando que la técnica se puede extender obviamente a otras bases impares además de la base 3. Su elección de evitar cualquier apelación a la visualización gráfica estuvo motivada por el deseo de una prueba completamente rigurosa que no debiera nada a las imágenes. En ese momento (el comienzo de la fundación de la topología general), los argumentos gráficos aún se incluían en las pruebas, pero se estaban convirtiendo en un obstáculo para la comprensión de resultados a menudo contraintuitivos.

Un año después, David Hilbert publicó en la misma revista una variación de la construcción de Peano. ^[8] El artículo de Hilbert fue el primero en incluir una imagen que ayudaba a visualizar la técnica de construcción, esencialmente la misma que se ilustra aquí. La forma analítica de la curva de Hilbert , sin embargo, es más complicada que la de Peano.

Seis iteraciones de la construcción de la curva de Hilbert, cuya curva límite de llenado del espacio fue ideada por el matemático David Hilbert .

Esquema de la construcción de una curva que llena el espacio

Sea , el espacio de Cantor . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$

Comenzamos con una función continua del espacio de Cantor sobre todo el intervalo unitario . (La restricción de la función de Cantor al conjunto de Cantor es un ejemplo de tal función). A partir de ella, obtenemos una función continua del producto topológico sobre todo el cuadrado unitario estableciendo ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,\,1]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,\,1]\;\times \;[0,\,1]}$

$${\displaystyle H(x,y)=(h(x),h(y)).\,}$$

Como el conjunto de Cantor es homeomorfo al producto , existe una biyección continua del conjunto de Cantor sobre . La composición de y es una función continua que aplica el conjunto de Cantor sobre el cuadrado unitario completo. (Alternativamente, podríamos usar el teorema de que todo espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor para obtener la función ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Finalmente, se puede extender a una función continua cuyo dominio sea todo el intervalo unitario . Esto se puede hacer ya sea utilizando el teorema de extensión de Tietze en cada uno de los componentes de , o simplemente extendiendo "linealmente" (es decir, en cada uno de los intervalos abiertos eliminados en la construcción del conjunto de Cantor, definimos la parte de extensión de en como el segmento de línea dentro del cuadrado unitario que une los valores y ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [0,\,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,\,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (a,\,b)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$

Propiedades

Curvas de Morton y Hilbert de nivel 6 (4 ⁵ = 1024 celdas en la partición cuadrada recursiva ) que representan cada dirección con un color diferente en el estándar RGB y utilizan etiquetas Geohash . Los vecindarios tienen colores similares, pero cada curva ofrece un patrón diferente de agrupamiento de elementos similares en escalas más pequeñas.

Si una curva no es inyectiva, entonces se pueden encontrar dos subcurvas que se intersecan , cada una obtenida al considerar las imágenes de dos segmentos disjuntos del dominio de la curva (el segmento de línea unitario). Las dos subcurvas se intersecan si la intersección de las dos imágenes no está vacía . Uno podría verse tentado a pensar que el significado de que las curvas se intersequen es que necesariamente se cruzan entre sí, como el punto de intersección de dos líneas no paralelas, de un lado al otro. Sin embargo, dos curvas (o dos subcurvas de una curva) pueden contactarse entre sí sin cruzarse, como, por ejemplo, lo hace una línea tangente a un círculo.

Una curva continua que no se autointersecta no puede llenar el cuadrado unitario porque eso haría que la curva fuera un homeomorfismo del intervalo unitario al cuadrado unitario (cualquier biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo). Pero un cuadrado unitario no tiene punto de corte y, por lo tanto, no puede ser homeomorfo al intervalo unitario, en el que todos los puntos excepto los puntos finales son puntos de corte. Existen curvas que no se autointersectan de área distinta de cero, las curvas de Osgood , pero por el teorema de Netto no llenan el espacio. ^[9]

En el caso de las curvas clásicas de Peano y Hilbert que llenan el espacio, donde dos subcurvas se intersecan (en el sentido técnico), hay autocontacto sin autocruce. Una curva que llena el espacio puede ser (en todas partes) autocruzante si sus curvas de aproximación son autocruzantes. Las aproximaciones de una curva que llena el espacio pueden ser autoevitables, como ilustran las figuras anteriores. En 3 dimensiones, las curvas de aproximación autoevitables pueden incluso contener nudos . Las curvas de aproximación permanecen dentro de una porción acotada del espacio n -dimensional, pero sus longitudes aumentan sin límite.

Las curvas que llenan el espacio son casos especiales de curvas fractales . No puede existir ninguna curva que llene el espacio diferenciable. En términos generales, la diferenciabilidad establece un límite a la velocidad a la que la curva puede girar. Michał Morayne demostró que la hipótesis del continuo es equivalente a la existencia de una curva de Peano tal que en cada punto de una línea real al menos uno de sus componentes es diferenciable. ^[10]

El teorema de Hahn-Mazurkiewicz

El teorema de Hahn - Mazurkiewicz es la siguiente caracterización de los espacios que son la imagen continua de las curvas:

Un espacio topológico de Hausdorff no vacío es una imagen continua del intervalo unitario si y solo si es un espacio compacto, conexo , localmente conexo y segundo-contable .

Los espacios que son la imagen continua de un intervalo unitario a veces se denominan espacios de Peano .

En muchas formulaciones del teorema de Hahn-Mazurkiewicz, segundo-contable se reemplaza por metrizable . Estas dos formulaciones son equivalentes. En una dirección, un espacio de Hausdorff compacto es un espacio normal y, por el teorema de metrización de Urysohn , segundo-contable implica metrizable. Por el contrario, un espacio métrico compacto es segundo-contable.

Grupos kleinianos

Existen muchos ejemplos naturales de curvas que llenan el espacio, o más bien, las curvas que llenan la esfera, en la teoría de grupos kleinianos doblemente degenerados . Por ejemplo, Cannon y Thurston (2007) demostraron que el círculo en el infinito de la cubierta universal de una fibra de un toro de aplicación de una función pseudo-Anosov es una curva que llena la esfera. (Aquí la esfera es la esfera en el infinito del 3-espacio hiperbólico ).

Integración

Wiener señaló en La integral de Fourier y algunas de sus aplicaciones que las curvas que llenan el espacio podrían usarse para reducir la integración de Lebesgue en dimensiones superiores a la integración de Lebesgue en una dimensión.

Véase también

• Curva del dragón
• Curva de Gosper
• Curva de Hilbert
• Curva de Koch
• Curva de Moore
• Polígono Murray
• Curva de Sierpinski
• Árbol que llena el espacio
• Índice espacial
• Árbol R de Hilbert
• B ^x -árbol
• Orden Z (curva) (orden Morton)
• Mapa de Cannon-Thurston
• Caminata auto-evitante (todo lo que hace SFC es eso)
• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff

Notas

1. Przemyslaw Prusinkiewicz y Aristid Lindenmayer. "La belleza algorítmica de las plantas". 2012. p. 12
2. Jeffrey Ventrella. "Curvas que llenan el cerebro: un bestiario fractal". 2011. p. 43
3. Marcia Ascher. "Matemáticas en otros lugares: una exploración de ideas a través de culturas". 2018. pág. 179.
4. "Fractales en las ciencias fundamentales y aplicadas". 1991. pág. 341-343.
5. Przemyslaw Prusinkiewicz; Aristid Lindenmayer; F. David Fracchia. "Síntesis de curvas que llenan el espacio en la cuadrícula cuadrada". 1989.
6. "Curva FASS". D. Frettlöh, E. Harriss, F. Gähler: Enciclopedia Tilings, https://tilings.math.uni-bielefeld.de/
7. Peano 1890.
8. Hilbert 1891.
9. Sagan 1994, pág. 131.
10. Morayne, Michał (1987). "Sobre la diferenciabilidad de funciones tipo Peano". Coloquio Mathematicum . 53 (1): 129-132. doi : 10.4064/cm-53-1-129-132 . ISSN  0010-1354.

Referencias

• Cannon, James W.; Thurston, William P. (2007) [1982], "Curvas de Peano invariantes de grupo", Geometry & Topology , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060, MR  2326947
• Hilbert, D. (1891), "Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück", Mathematische Annalen (en alemán), 38 (3): 459–460, doi :10.1007/BF01199431, S2CID  123643081
• Mandelbrot, BB (1982), "Cap. 7: Aprovechamiento de las curvas del monstruo de Peano", La geometría fractal de la naturaleza , WH Freeman.
• McKenna, Douglas M. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid", en Guy, Richard K. ; Woodrow, Robert E. (eds.), El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la Conferencia en memoria de Eugene Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, Asociación Matemática de América , págs. 49–73, ISBN 978-0-88385-516-4.
• Peano, G. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane", Mathematische Annalen (en francés), 36 (1): 157–160, doi :10.1007/BF01199438, S2CID  179177780.
• Sagan, Hans (1994), Curvas que llenan el espacio , Universitext, Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, Sr.  1299533.

Enlaces externos

• Curvas multidimensionales que llenan el espacio
• Prueba de la existencia de una biyección en el momento del corte del nudo

Subprogramas Java:

• Curvas de relleno del plano de Peano en el corte del nudo
• Curvas de relleno del plano de Hilbert y Moore en el corte del nudo
• Todas las curvas de relleno del plano Peano en cut-the-knot