Algoritmo π de Liu Hui

Cálculo de π por el matemático del siglo III Liu Hui

Método de Liu Hui para calcular el área de un círculo

El algoritmo π de Liu Hui fue inventado por Liu Hui (siglo III aprox.), un matemático del estado de Cao Wei . Antes de su tiempo, la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro a menudo se tomaba experimentalmente como tres en China, mientras que Zhang Heng (78-139) la tradujo como 3,1724 (de la proporción del círculo celestial al diámetro de la Tierra, 92/29 ) o como . Liu Hui no estaba satisfecho con este valor. Comentó que era demasiado grande y se excedió de la marca. Otro matemático, Wang Fan (219-257), proporcionó π ≈ 142/45 ≈ 3,156 . ^[1] Todos estos valores empíricos de π tenían una precisión de dos dígitos (es decir, un decimal). Liu Hui fue el primer matemático chino en proporcionar un algoritmo riguroso para el cálculo de π con cierta precisión. El propio cálculo de Liu Hui con un sistema de 96 gonos proporcionó una precisión de cinco dígitos, es decir, π ≈ 3,1416 . ${\displaystyle \pi \approx {\sqrt {10}}\approx 3.162}$

Liu Hui remarcó en su comentario a Los nueve capítulos sobre el arte matemático [ ^2] que la razón entre la circunferencia de un hexágono inscrito y el diámetro del círculo era tres, por lo tanto, π debe ser mayor que tres. Luego proporcionó una descripción detallada paso a paso de un algoritmo iterativo para calcular π con cualquier precisión requerida basada en polígonos bisecantes; calculó π entre 3,141024 y 3,142708 con un 96-gono; sugirió que 3,14 era una aproximación suficientemente buena y expresó π como 157/50; admitió que este número era un poco pequeño. Más tarde inventó un método rápido para mejorarlo y obtuvo π ≈ 3,1416 con solo 96-gono, un nivel de precisión comparable al de un 1536-gono. Su contribución más importante en esta área fue su simple algoritmo iterativo π .

Área de un círculo

El área dentro de un círculo es igual al radio multiplicado por la mitad de la circunferencia, o A = r x C /2 = r x r x π .

Liu Hui argumentó:

" Multiplicamos un lado de un hexágono por el radio (de su circunferencia circunscrita), luego multiplicamos esto por tres, para obtener el área de un dodecágono; si cortamos un hexágono en un dodecágono, multiplicamos su lado por su radio, luego nuevamente multiplicamos por seis, obtenemos el área de un 24-gono; cuanto más fino cortamos, menor es la pérdida con respecto al área del círculo, por lo tanto, con más corte tras corte, el área del polígono resultante coincidirá y se convertirá en uno con el círculo; no habrá pérdida ".

Al parecer Liu Hui ya dominaba el concepto del límite ^[3]

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\text{area of }}N{\text{-gon}}={\text{area of circle}}.\,}$

Además, Liu Hui demostró que el área de un círculo es la mitad de su circunferencia multiplicada por su radio. Dijo:

" Entre un polígono y un círculo hay un radio sobrante. Multiplica el radio sobrante por un lado del polígono. El área resultante excede el límite del círculo ".

En el diagrama, d = radio excedente. Al multiplicar d por un lado, se obtiene el rectángulo ABCD , que excede el límite del círculo. Si un lado del polígono es pequeño (es decir, si hay una gran cantidad de lados), entonces el radio excedente será pequeño y, por lo tanto, el área excedente será pequeña.

Como en el diagrama, cuando N → ∞ , d → 0 y ABCD → 0 .

" Multiplica el lado de un polígono por su radio y el área se duplica; luego multiplica la mitad de la circunferencia por el radio para obtener el área del círculo ".

Cuando N → ∞ , la mitad de la circunferencia del N -gono se aproxima a un semicírculo, por lo que la mitad de la circunferencia de un círculo multiplicada por su radio es igual al área del círculo. Liu Hui no explicó en detalle esta deducción. Sin embargo, es evidente si se utiliza el "principio de complemento de entrada-salida" de Liu Hui, que proporcionó en otra parte de Los nueve capítulos sobre el arte matemático : corte una forma geométrica en partes, reorganice las partes para formar otra forma, el área de las dos formas será idéntica.

Así, al reorganizar los seis triángulos verdes, tres triángulos azules y tres triángulos rojos en un rectángulo con ancho = 3 L y altura R , se obtiene que el área del dodecágono = 3 RL .

En general, al multiplicar la mitad de la circunferencia de un N -gono por su radio se obtiene el área de un 2 N -gono. Liu Hui utilizó este resultado repetidamente en su algoritmo π .

De Liu Huiπdesigualdad

Desigualdad π de Liu Hui

Liu Hui demostró una desigualdad que involucra π considerando el área de polígonos inscritos con N y 2 N lados.

En el diagrama, el área amarilla representa el área de un N -gono, denotado por , y el área amarilla más el área verde representa el área de un 2 N -gono, denotado por . Por lo tanto, el área verde representa la diferencia entre las áreas del 2 N -gono y el N -gono: ${\displaystyle A_{N}}$ ${\displaystyle A_{2N}}$

${\displaystyle D_{2N}=A_{2N}-A_{N}.}$

El área roja es igual al área verde, y por lo tanto también es . Por lo tanto ${\displaystyle D_{2N}}$

Área amarilla + área verde + área roja = ${\displaystyle A_{2N}+D_{2N}.}$

Sea el área del círculo. Entonces ${\displaystyle A_{C}}$

${\displaystyle A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.}$

Si el radio del círculo se toma como 1, entonces tenemos la desigualdad π de Liu Hui :

${\displaystyle A_{2N}<\pi <A_{2N}+D_{2N}.}$

Algoritmo iterativo

Algoritmo π de Liu Hui

Liu Hui comenzó con un hexágono inscrito. Sea M la longitud de un lado AB del hexágono y r el radio del círculo.

Biseca AB con la línea OPC , AC se convierte en un lado del dodecágono (12-ágono), sea su longitud m . Sea la longitud de PC j y la longitud de OP G.

APO y APC son dos triángulos rectángulos. Liu Hui utilizó el teorema de Pitágoras en repetidas ocasiones:

${\displaystyle {}G^{2}=r^{2}-\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}}$

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}j=r-G=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}m^{2}=\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-G\right)^{2}}}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}\right)^{2}}}}$

A partir de aquí, ahora existe una técnica para determinar m a partir de M , que da la longitud del lado de un polígono con el doble de aristas. Partiendo de un hexágono , Liu Hui podría determinar la longitud del lado de un dodecágono utilizando esta fórmula. Luego continuaría de manera repetitiva para determinar la longitud del lado de un icositetragono dada la longitud del lado de un dodecágono. Podría hacer esto de manera recursiva tantas veces como fuera necesario. Sabiendo cómo determinar el área de estos polígonos, Liu Hui podría entonces aproximar π .

Con unidades, obtuvo ${\displaystyle r=10}$

área de 96-gon ${\displaystyle {}A_{96}=313{584 \over 625}}$

área de 192 gon ${\displaystyle {}A_{192}=314{64 \over 625}}$

Diferencia entre 96 y 48 gonos:

${\displaystyle {}D_{192}=314{\frac {64}{625}}-313{\frac {584}{625}}={\frac {105}{625}}}$

De la desigualdad π de Liu Hui :

${\displaystyle A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.}$

Dado que r = 10, ${\displaystyle A_{C}=100\times \pi }$

por lo tanto:

${\displaystyle {}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {64}{625}}+{\frac {105}{625}}}$

${\displaystyle {}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {169}{625}}}$

${\displaystyle {}3.141024<\pi <3.142704.}$

Nunca tomó π como el promedio del límite inferior 3,141024 y el límite superior 3,142704. En cambio, sugirió que 3,14 era una aproximación suficientemente buena para π y lo expresó como una fracción ; señaló que este número es ligeramente menor que el valor real de π . ${\displaystyle {\tfrac {157}{50}}}$

Liu Hui realizó su cálculo con cálculo de barras y expresó sus resultados con fracciones. Sin embargo, la naturaleza iterativa del algoritmo π de Liu Hui es bastante clara:

${\displaystyle 2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}\,,}$

donde m es la longitud de un lado del polígono de orden siguiente bisecado desde M. El mismo cálculo se realiza repetidamente, y cada paso requiere solo una adición y una extracción de raíz cuadrada.

Método rápido

El cálculo de raíces cuadradas de números irracionales no era una tarea fácil en el siglo III con las varillas de conteo . Liu Hui descubrió un atajo comparando las diferenciales de área de los polígonos y descubrió que la proporción de la diferencia en el área de los polígonos de orden sucesivo era aproximadamente 1/4. ^[4]

Sea D _N la diferencia de áreas de N -gono y ( N /2)-gono

${\displaystyle D_{N}=A_{N}-A_{N/2}\,}$

Encontró:

${\displaystyle D_{96}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{48}}$

${\displaystyle D_{192}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{96}}$ ¹

Por eso:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{384}&{}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{192}\\D_{768}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}D_{192}\\D_{1536}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}D_{192}\\D_{3072}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}D_{192}\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Área de un círculo de radio unitario =

${\displaystyle {}\pi =A_{192}+D_{384}+D_{768}+D_{1536}+D_{3072}+\cdots \approx A_{192}+F\cdot D_{192}.\,}$

En el cual

${\displaystyle F={\tfrac {1}{4}}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\tfrac {1}{3}}.}$

Es decir, todas las áreas excedentes subsiguientes suman un tercio del total. ${\displaystyle D_{192}}$

área del círculo unitario ² ${\displaystyle {}=\pi \approx A_{192}+\left({\tfrac {1}{3}}\right)D_{192}\approx {3927 \over 1250}\approx 3.1416.\,}$

Liu Hui estaba muy contento con este resultado porque había obtenido el mismo resultado con el cálculo para un polígono de 1536, obteniendo el área de un polígono de 3072. Esto explica cuatro preguntas:

1. Por qué se detuvo en A ₁₉₂ en su presentación de su algoritmo. Porque descubrió un método rápido para mejorar la precisión de π , logrando el mismo resultado de 1536-gonos con solo 96-gonos. Después de todo, el cálculo de raíces cuadradas no era una tarea sencilla con el cálculo de barras . Con el método rápido, solo necesitaba realizar una resta más, una división más (por 3) y una suma más, en lugar de cuatro extracciones de raíces cuadradas más.
2. Por qué prefirió calcular π a través del cálculo de áreas en lugar de circunferencias de polígonos sucesivos, porque el método rápido requería información sobre la diferencia en áreas de polígonos sucesivos.
3. ¿Quién fue el verdadero autor del párrafo que contiene el cálculo de ${\displaystyle \pi ={3927 \over 1250}.}$
4. Ese famoso párrafo comenzaba con "Un contenedor de bronce de la dinastía Han en el almacén militar de la dinastía Jin ...". Muchos eruditos, entre ellos Yoshio Mikami y Joseph Needham , creían que el párrafo "Contenedor de bronce de la dinastía Han" era obra de Liu Hui y no de Zu Chongzhi como creían otros, debido a la fuerte correlación de los dos métodos a través del cálculo del área, y porque no había una sola palabra que mencionara el resultado 3.1415926 < π < 3.1415927 de Zu obtenido a través de 12288-gon.

Desarrollos posteriores

Liu Hui estableció un algoritmo sólido para el cálculo de π con cualquier precisión.

• Zu Chongzhi estaba familiarizado con el trabajo de Liu Hui y obtuvo una mayor precisión al aplicar su algoritmo a un sistema de 12288 gonos.

De la fórmula de Liu Hui para 2 N -gon:

${\displaystyle A_{2N}=m_{N}\times r}$

Para 12288-gon inscrito en un círculo de radio unitario:

${\displaystyle A_{24576}=3.14159261864<\pi }$.

De la desigualdad π de Liu Hui :

${\displaystyle A_{24576}<\pi <A_{24576}+D_{24576}}$

En el cual ${\displaystyle D_{24576}=A_{24576}-A_{12288}=0.0000001021}$

${\displaystyle A_{24576}=3.14159261864<\pi <3.14159261864+0.0000001021}$.

Por lo tanto

${\displaystyle 3.14159261864<\pi <3.141592706934}$

Truncado a ocho dígitos significativos:

${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$.

Esa fue la famosa desigualdad π de Zu Chongzhi .

Luego, Zu Chongzhi utilizó la fórmula de interpolación de He Chengtian (何承天, 370-447) y obtuvo una fracción aproximada: . ${\displaystyle \pi \approx {355 \over 113}}$

Sin embargo, este valor π desapareció de la historia china durante un largo período de tiempo (por ejemplo, el matemático de la dinastía Song, Qin Jiushao, utilizó π = y ), hasta que el matemático de la dinastía Yuan, Zhao Yuqin , trabajó en una variación del algoritmo π de Liu Hui , dividiendo en dos un cuadrado inscrito y obtuvo nuevamente ^[5] ${\displaystyle {22 \over 7}}$ ${\displaystyle \pi ={\sqrt {10}})}$ ${\displaystyle \pi \approx {355 \over 113}.}$

Importancia del algoritmo de Liu Hui

El algoritmo π de Liu Hui fue una de sus contribuciones más importantes a las matemáticas de la antigua China. Se basaba en el cálculo del área de N -gonos, en contraste con el algoritmo de Arquímedes basado en la circunferencia del polígono. Con este método, Zu Chongzhi obtuvo el resultado de ocho dígitos: 3,1415926 < π < 3,1415927, que mantuvo el récord mundial del valor más preciso de π durante siglos, ^[6] hasta que Madhava de Sangamagrama calculó 11 dígitos en el siglo XIV o Jamshid al-Kashi calculó 16 dígitos en 1424; las mejores aproximaciones para π conocidas en Europa solo tenían una precisión de 7 dígitos hasta que Ludolph van Ceulen calculó 20 dígitos en 1596.

Véase también

• Método de agotamiento (siglo V a.C.)
• Algoritmo π de Zhao Youqin (siglos XIII y XIV)
• Prueba de la fórmula de Newton para Pi (siglo XVII)

Notas

^1 Valor correcto: 0,2502009052

^2 Valores correctos:

${\displaystyle A_{192}=3.1410319509}$

${\displaystyle D_{192}=0.0016817478}$

${\displaystyle \pi \approx A_{192}+{\frac {1}{3}}D_{192}\approxeq 3.1410319509+0.0016817478/3}$

${\displaystyle \pi \approx 3.1410319509+0.0005605826}$

${\displaystyle \pi \approx 3.1415925335.}$

El método rápido de Liu Hui fue potencialmente capaz de entregar casi el mismo resultado de 12288-gon (3.141592516588) con solo 96-gon.

Referencias

1. Schepler, Herman C. (1950), “La cronología de Pi”, Mathematics Magazine 23 (3): 165–170, ISSN  0025-570X.
2. Needham, Volumen 3, 66.
3. Fue observado por primera vez por el matemático japonés Yoshio Mikami
4. Yoshio Mikami: Tesis doctoral 1932
5. Yoshio Mikami dijo sobre el trabajo de Zhao Yu Xin: "Los lados y, en consecuencia, los perímetros de estos polígonos se calculan sucesivamente de la manera seguida por Liu Hui en la antigüedad", pág. 136, Desarrollo de las matemáticas en China y Japón
6. Robert Temple, El genio de China, un valor refinado de pi, pág. 144-145, ISBN 1-85375-292-4 

Lectura adicional

• Needham, Joseph (1986). Ciencia y civilización en China : Volumen 3, Matemáticas y ciencias de los cielos y la tierra. Taipei: Caves Books, Ltd.
• Wu Wenjun ed, Historia de las matemáticas chinas, vol. III (en chino), ISBN 7-303-04557-0