Acción de Polyakov

2D conformal field theory used in string theory

En física , la acción de Polyakov es una acción de la teoría de campos conforme bidimensional que describe la hoja de universo de una cuerda en la teoría de cuerdas . Fue introducida por Stanley Deser y Bruno Zumino e independientemente por L. Brink , P. Di Vecchia y PS Howe en 1976, ^{[1] [2]} y se asoció con Alexander Polyakov después de que la usara para cuantificar la cuerda en 1981. ^[3] La acción dice:

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma ),}$

donde es la tensión de la cuerda , es la métrica de la variedad objetivo , es la métrica de la hoja del mundo, su inversa, y es el determinante de . La firma métrica se elige de modo que las direcciones temporales sean + y las direcciones espaciales sean −. La coordenada de la hoja del mundo espacial se llama , mientras que la coordenada de la hoja del mundo temporal se llama . Esto también se conoce como el modelo sigma no lineal . ^[4] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle h^{ab}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h_{ab}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$

La acción de Polyakov debe complementarse con la acción de Liouville para describir las fluctuaciones de la cuerda.

Simetrías globales

Nota: Aquí, se dice que una simetría es local o global desde el punto de vista de la teoría bidimensional (sobre la hoja del mundo). Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz, que son simetrías locales del espacio-tiempo, son simetrías globales de la teoría sobre la hoja del mundo.

La acción es invariante bajo traslaciones espacio-temporales y transformaciones infinitesimales de Lorentz.

1. ${\displaystyle X^{\alpha }\to X^{\alpha }+b^{\alpha },}$
2. ${\displaystyle X^{\alpha }\to X^{\alpha }+\omega _{\ \beta }^{\alpha }X^{\beta },}$

donde , y es una constante. Esto forma la simetría de Poincaré de la variedad objetivo. ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }}$ ${\displaystyle b^{\alpha }}$

La invariancia en (i) se deduce porque la acción depende únicamente de la primera derivada de . La prueba de la invariancia en (ii) es la siguiente: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X^{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}'&={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}g_{\mu \nu }\partial _{a}\left(X^{\mu }+\omega _{\ \delta }^{\mu }X^{\delta }\right)\partial _{b}\left(X^{\nu }+\omega _{\ \delta }^{\nu }X^{\delta }\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\omega _{\nu \delta }\partial _{a}X^{\delta }\partial _{b}X^{\nu }\right)+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }+\omega _{\delta \mu }\right)\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right).\end{aligned}}}$

Simetrías locales

La acción es invariante bajo difeomorfismos de la hoja del mundo (o transformaciones de coordenadas) y transformaciones de Weyl .

Difeomorfismos

Supongamos la siguiente transformación:

${\displaystyle \sigma ^{\alpha }\rightarrow {\tilde {\sigma }}^{\alpha }\left(\sigma ,\tau \right).}$

Transforma el tensor métrico de la siguiente manera:

${\displaystyle h^{ab}(\sigma )\rightarrow {\tilde {h}}^{ab}=h^{cd}({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial {\sigma }^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial {\sigma }^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}.}$

Se puede ver que:

${\displaystyle {\tilde {h}}^{ab}{\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial \sigma ^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{cd}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial \sigma ^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial \sigma ^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}{\frac {\partial }{\partial \sigma ^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{ab}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }}).}$

Se sabe que el jacobiano de esta transformación está dado por

${\displaystyle \mathrm {J} =\operatorname {det} \left({\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{\alpha }}{\partial \sigma ^{\beta }}}\right),}$

Lo que conduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}&=\mathrm {J} \mathrm {d} ^{2}\sigma \\h&=\operatorname {det} \left(h_{ab}\right)\\\Rightarrow {\tilde {h}}&=\mathrm {J} ^{2}h,\end{aligned}}}$

y uno ve que

${\displaystyle {\sqrt {-{\tilde {h}}}}\mathrm {d} ^{2}{\sigma }={\sqrt {-h\left({\tilde {\sigma }}\right)}}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}.}$

Resumiendo esta transformación y reetiquetado , vemos que la acción es invariante. ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}=\sigma }$

Transformación de Weyl

Supongamos la transformación de Weyl :

${\displaystyle h_{ab}\to {\tilde {h}}_{ab}=\Lambda (\sigma )h_{ab},}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}^{ab}&=\Lambda ^{-1}(\sigma )h^{ab},\\\operatorname {det} \left({\tilde {h}}_{ab}\right)&=\Lambda ^{2}(\sigma )\operatorname {det} (h_{ab}).\end{aligned}}}$

Y por último:

Y se puede ver que la acción es invariante bajo la transformación de Weyl . Si consideramos objetos n -dimensionales (espacialmente) extendidos cuya acción es proporcional al área/hiperárea de su hoja del mundo, a menos que n = 1, la acción de Polyakov correspondiente contendría otro término que rompería la simetría de Weyl.

El tensor de tensión-energía se puede definir así :

${\displaystyle T^{ab}={\frac {-2}{\sqrt {-h}}}{\frac {\delta S}{\delta h_{ab}}}.}$

Definamos:

${\displaystyle {\hat {h}}_{ab}=\exp \left(\phi (\sigma )\right)h_{ab}.}$

Debido a la simetría de Weyl , la acción no depende de : ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi }}={\frac {\delta S}{\delta {\hat {h}}_{ab}}}{\frac {\delta {\hat {h}}_{ab}}{\delta \phi }}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{ab}\,e^{\phi }\,h^{ab}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{\ a}^{a}\,e^{\phi }=0\Rightarrow T_{\ a}^{a}=0,}$

donde hemos utilizado la regla de la cadena derivada funcional .

Relación con la acción Nambu-Goto

Escribiendo la ecuación de Euler-Lagrange para el tensor métrico se obtiene que ${\displaystyle h^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0.}$

Sabiendo también que:

${\displaystyle \delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}.}$

La derivada variacional de la acción se puede escribir:

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right),}$

donde , lo que conduce a ${\displaystyle G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{ab}&=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0,\\G_{ab}&={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd},\\G&=\operatorname {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Si el tensor métrico auxiliar de la hoja del mundo se calcula a partir de las ecuaciones de movimiento: ${\displaystyle {\sqrt {-h}}}$

${\displaystyle {\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}}$

y sustituyéndola nuevamente a la acción, se convierte en la acción Nambu–Goto :

${\displaystyle S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}.}$

Sin embargo, la acción de Polyakov se cuantifica más fácilmente porque es lineal .

Ecuaciones de movimiento

Usando difeomorfismos y transformación de Weyl , con un espacio objetivo minkowskiano , se puede hacer la transformación físicamente insignificante , escribiendo así la acción en el calibre conforme : ${\displaystyle {\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-\eta }}\eta ^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \left({\dot {X}}^{2}-X'^{2}\right),}$

dónde . ${\displaystyle \eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$

Teniendo en cuenta que se pueden derivar las restricciones: ${\displaystyle T_{ab}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{01}&=T_{10}={\dot {X}}X'=0,\\T_{00}&=T_{11}={\frac {1}{2}}\left({\dot {X}}^{2}+X'^{2}\right)=0.\end{aligned}}}$

Sustituyendo , se obtiene ${\displaystyle X^{\mu }\to X^{\mu }+\delta X^{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {S}}&=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}\delta X_{\mu }\\&=-T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }\delta X_{\mu }+\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =\pi }-\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =0}\\&=0.\end{aligned}}}$

Y por consiguiente

${\displaystyle \square X^{\mu }=\eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }=0.}$

Las condiciones de contorno para satisfacer la segunda parte de la variación de la acción son las siguientes.

• Cuerdas cerradas:

  Condiciones de contorno periódicas : ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma ).}$

• Cuerdas abiertas:
  1. Condiciones de contorno de Neumann : ${\displaystyle \partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0.}$
  2. Condiciones de contorno de Dirichlet : ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }.}$

Trabajando en coordenadas de cono de luz , podemos reescribir las ecuaciones de movimiento como ${\displaystyle \xi ^{\pm }=\tau \pm \sigma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{+}\partial _{-}X^{\mu }&=0,\\(\partial _{+}X)^{2}=(\partial _{-}X)^{2}&=0.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la solución se puede escribir como , y el tensor de tensión-energía ahora es diagonal. Al expandir la solución por Fourier e imponer relaciones de conmutación canónicas sobre los coeficientes, la aplicación de la segunda ecuación de movimiento motiva la definición de los operadores de Virasoro y conduce a las restricciones de Virasoro que se desvanecen al actuar sobre estados físicos. ${\displaystyle X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})}$

Véase también

• D-brana
• Acción de Einstein-Hilbert

Referencias

1. Deser, S. ; Zumino, B. (1976). "Una acción completa para la cuerda giratoria". Phys. Lett. B . 65 (4): 369–373. doi :10.1016/0370-2693(76)90245-8.
2. Brink, L. ; Di Vecchia, P. ; Howe, P. (1976). "Una acción localmente supersimétrica e invariante a la reparametrización para la cuerda giratoria". Physics Letters B . 65 (5): 471–474. doi :10.1016/0370-2693(76)90445-7.
3. Polyakov, AM (1981). "Geometría cuántica de cuerdas bosónicas". Physics Letters B . 103 (3): 207–210. doi :10.1016/0370-2693(81)90743-7.
4. Friedan, D. (1980). "Modelos no lineales en dimensiones 2+ε" (PDF) . Physical Review Letters . 45 (13): 1057–1060. Código Bibliográfico :1980PhRvL..45.1057F. doi :10.1103/PhysRevLett.45.1057.

Lectura adicional

• Polchinski (noviembre de 1994). ¿Qué es la teoría de cuerdas ?, NSF-ITP-94-97, 153 páginas, arXiv:hep-th/9411028v1.
• Ooguri, Yin (febrero de 1997). Conferencias TASI sobre teorías de cuerdas perturbativas , UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80 pp., arXiv:hep-th/9612254v3.