Estabilidad direccional

La estabilidad direccional es la estabilidad de un cuerpo o vehículo en movimiento alrededor de un eje perpendicular a su dirección de movimiento. La estabilidad de un vehículo se refiere a la tendencia de un vehículo a regresar a su dirección original en relación con el medio que se aproxima (agua, aire, superficie de la carretera, etc.) cuando se lo perturba (rota) alejándose de esa dirección original. Si un vehículo es direccionalmente estable, se produce un momento de recuperación que se produce en dirección opuesta a la perturbación de rotación. Esto "empuja" el vehículo (en rotación) para devolverlo a la orientación original, tendiendo así a mantener el vehículo orientado en la dirección original.

La estabilidad direccional se denomina con frecuencia "veleta" porque un vehículo direccionalmente estable que puede girar libremente alrededor de su centro de masa es similar a una veleta que gira alrededor de su pivote (vertical).

A excepción de las naves espaciales, los vehículos generalmente tienen una parte delantera y trasera reconocibles y están diseñados de modo que la parte delantera apunte más o menos en la dirección del movimiento. Sin esta estabilidad, pueden caer de un lado a otro, girar u orientarse en un ángulo de ataque elevado , incluso de costado en la dirección del movimiento. En ángulos de ataque elevados, las fuerzas de arrastre pueden volverse excesivas, el vehículo puede resultar imposible de controlar o incluso puede experimentar fallas estructurales. En general, los vehículos terrestres, marítimos, aéreos y submarinos están diseñados para tener una tendencia natural a apuntar en la dirección del movimiento.

Ejemplo: vehículo de carretera

Las flechas, dardos, cohetes y dirigibles tienen superficies de cola (aletas o plumas) para lograr estabilidad direccional; un avión utiliza su estabilizador vertical para el mismo propósito. Un vehículo de carretera no cuenta con elementos específicamente diseñados para mantener la estabilidad, sino que se basa principalmente en la distribución de masas .

Introducción

Estos puntos se ilustran mejor con un ejemplo. La primera etapa del estudio de la estabilidad de un vehículo de carretera es la derivación de una aproximación razonable a las ecuaciones de movimiento.

El diagrama ilustra un vehículo de cuatro ruedas, en el que el eje delantero está ubicado una distancia por delante del centro de gravedad y el eje trasero está una distancia detrás del cg. La carrocería del automóvil apunta en una dirección (theta) mientras viaja en una dirección (psi). En general, estos no son lo mismo. El neumático pisa en la región del punto de contacto en la dirección de la marcha, pero los cubos están alineados con la carrocería del vehículo y la dirección se mantiene central. Los neumáticos se distorsionan a medida que giran para adaptarse a esta desalineación y, como consecuencia, generan fuerzas laterales. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$

La fuerza lateral neta Y sobre el vehículo es la fuerza centrípeta que hace que el vehículo cambie la dirección en la que viaja:

${\displaystyle MV{\frac {d\psi }{dt}}=Y\,\cos(\theta -\psi )}$

donde M es la masa del vehículo y V la velocidad. Todos los ángulos se suponen pequeños, por lo que la ecuación de la fuerza lateral es:

${\displaystyle MV{\frac {d\psi }{dt}}=Y}$

La rotación del cuerpo sometido a un momento de guiñada N está regida por:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=N}$

donde I es el momento de inercia en guiñada. Las fuerzas y momentos de interés surgen de la deformación de los neumáticos. El ángulo entre la dirección en la que rueda la banda de rodadura y el eje se llama ángulo de deslizamiento . Este es un nombre un poco inapropiado, porque el neumático en su conjunto realmente no patina, parte de la región en contacto con la carretera se adhiere y parte de la región patina. Suponemos que la fuerza del neumático es directamente proporcional al ángulo de deslizamiento ( ). Está formado por el deslizamiento del vehículo en su conjunto modificado por la velocidad angular de la carrocería. Para el eje delantero: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (front)=\theta -\psi -{\frac {a}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

mientras que para el eje trasero:

${\displaystyle \phi (rear)=\theta -\psi +{\frac {b}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Sea k la constante de proporcionalidad. Por lo tanto la fuerza lateral es:

${\displaystyle Y=2k(\phi (front)+\phi (rear))=4k(\theta -\psi )+2k{\frac {(b-a)}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

El momento es:

${\displaystyle N=2k(a\phi (front)-b\phi (rear))=2k(a-b)(\theta -\psi )-2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Denotando la velocidad angular , las ecuaciones de movimiento son: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}=2k{\frac {(a-b)}{I}}(\theta -\psi )-2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{VI}}\omega }$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega }$

${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {4k}{MV}}(\theta -\psi )+2k{\frac {(b-a)}{MV^{2}}}\omega }$

Sea (beta), el ángulo de deslizamiento del vehículo en su conjunto: ${\displaystyle \theta -\psi =\beta }$

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}=2k{\frac {(a-b)}{I}}\beta -2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{VI}}\omega }$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}=-{\frac {4k}{MV}}\beta +(1-2k{\frac {(b-a)}{MV^{2}}})\omega }$

Eliminando se obtiene la siguiente ecuación en : ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {4k}{MV}}+{\frac {2k(a^{2}+b^{2})}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}+({\frac {4k^{2}(a+b)^{2}}{MV^{2}I}}+{\frac {2k(b-a)}{I}})\beta =0}$

Esto se denomina ecuación lineal homogénea de segundo orden y sus propiedades forman la base de gran parte de la teoría del control .

Análisis de estabilidad

No necesitamos resolver explícitamente la ecuación de movimiento para decidir si la solución diverge indefinidamente o converge a cero después de una perturbación inicial. La forma de la solución depende de los signos de los coeficientes.

El coeficiente de se denominará " amortiguación " por analogía con un amortiguador masa-resorte que tiene una ecuación de movimiento similar. ${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}}$

Por la misma analogía, el coeficiente de se llamará "rigidez", ya que su función es devolver el sistema a una deflexión cero, de la misma manera que un resorte. ${\displaystyle \beta }$

La forma de la solución depende sólo de los signos de los términos de amortiguamiento y rigidez. Los cuatro tipos de soluciones posibles se presentan en la figura.

La única solución satisfactoria requiere que tanto la rigidez como la amortiguación sean positivas.

El término de amortiguación es:

${\displaystyle ({\frac {4k}{MV}}+{\frac {2k(a^{2}+b^{2})}{VI}})}$

El coeficiente de deslizamiento del neumático k es positivo, al igual que la masa, el momento de inercia y la velocidad, por lo que la amortiguación es positiva y el movimiento direccional debe ser dinámicamente estable.

El término de rigidez es:

${\displaystyle ({\frac {4k^{2}(a+b)^{2}}{MIV^{2}}}+{\frac {2k(b-a)}{I}})}$

Si el centro de gravedad está por delante del centro de la distancia entre ejes ( , esto siempre será positivo y el vehículo será estable a todas las velocidades. Sin embargo, si está más atrás, el término tiene el potencial de volverse negativo por encima de una velocidad dada por: ${\displaystyle (b>a)}$

${\displaystyle V^{2}={\frac {2k(a+b)^{2}}{M(a-b)}}}$

Por encima de esta velocidad, el vehículo será direccionalmente inestable .

Efecto relativo de los neumáticos delanteros y traseros.

Si por alguna razón (presión de inflado incorrecta, banda de rodadura desgastada) los neumáticos de un eje no son capaces de generar una fuerza lateral significativa, la estabilidad obviamente se verá afectada.

Supongamos para empezar que los neumáticos traseros están defectuosos, ¿cuál es el efecto sobre la estabilidad? Si los neumáticos traseros no producen fuerzas significativas, la fuerza lateral y el momento de guiñada se convierten en:

${\displaystyle Y=2k(\phi (front))=2k(\theta -\psi )-2k{\frac {a}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

${\displaystyle N=2k(a\phi (front))=2ka(\theta -\psi )-2k{\frac {a^{2}}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

La ecuación de movimiento queda:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {2k}{MV}}+{\frac {2ka^{2}}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}-({\frac {2ka}{I}})\beta =0}$

El coeficiente de es negativo, por lo que el vehículo será inestable. ${\displaystyle \beta }$

Consideremos ahora el efecto de los neumáticos defectuosos en la parte delantera. La fuerza lateral y el momento de guiñada se convierten en:

${\displaystyle Y=2k(\phi (rear))=2k(\theta -\psi )+2k{\frac {b}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

${\displaystyle N=-2k(b\phi (rear))=-2kb(\theta -\psi )-2k{\frac {b^{2}}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

La ecuación de movimiento queda:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {2k}{MV}}+{\frac {2kb^{2}}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}+({\frac {2kb}{I}})\beta =0}$

El coeficiente de es positivo, por lo que el vehículo será estable pero inestable. ${\displaystyle \beta }$

De ello se deduce que el estado de los neumáticos traseros es más crítico para la estabilidad direccional que el estado de los neumáticos delanteros. Además, bloquear las ruedas traseras aplicando el freno de mano hace que el vehículo sea direccionalmente inestable, lo que hace que patine. Dado que el vehículo no está bajo control durante el giro, el ' giro con freno de mano ' suele ser ilegal en la vía pública.

Fuerzas de dirección

Desviar la dirección cambia el ángulo de deslizamiento de los neumáticos delanteros, generando una fuerza lateral. Con la dirección convencional, los neumáticos se desvían en cantidades diferentes, pero para los fines de este análisis, el deslizamiento adicional se considerará igual para ambos neumáticos delanteros.

La fuerza lateral se convierte en:

${\displaystyle Y=2k(\phi (front)+\phi (rear))=4k(\theta -\psi )+2k{\frac {(b-a)}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}+2k\eta }$

donde (eta) es la deflexión de la dirección. De manera similar, el momento de guiñada se convierte en: ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle N=2k(a\phi (front)-b\phi (rear))=2k(a-b)(\theta -\psi )-2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}+2ka\eta }$

Incluir el término directivo introduce una respuesta forzada:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {4k}{MV}}+{\frac {2k(a^{2}+b^{2})}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}+({\frac {4k^{2}(a+b)^{2}}{MV^{2}I}}+{\frac {2k(b-a)}{I}})\beta =-{\frac {2k}{MV}}{\frac {d\eta }{dt}}+({\frac {2ka}{I}}-{\frac {4k^{2}b(a+b)}{IMV^{2}}})\eta }$

La respuesta en estado estacionario es con todas las derivadas temporales puestas a cero. La estabilidad requiere que el coeficiente de sea positivo, por lo que el signo de la respuesta está determinado por el coeficiente de : ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle ({\frac {2ka}{I}}-{\frac {4k^{2}b(a+b)}{IMV^{2}}})}$

Esta es una función de la velocidad. Cuando la velocidad es baja, el deslizamiento es negativo y la carrocería apunta fuera de la curva (subvira ) . A una velocidad dada por:

${\displaystyle V^{2}={\frac {2kb(a+b)}{Ma}}}$

El cuerpo apunta en la dirección del movimiento. Por encima de esta velocidad, la carrocería apunta hacia la curva ( sobreviraje ).

Como ejemplo:

con k=10kN/radianes, M=1000kg, b=1,0m, a=1,0m, el vehículo subvira por debajo de 11,3mph.

Evidentemente mover el centro de gravedad hacia adelante aumenta esta velocidad, dando al vehículo tendencia a subvirar .

Nota: Instalar un motor pesado y potente en un vehículo de producción liviano diseñado alrededor de un motor pequeño aumenta tanto su estabilidad direccional como su tendencia a subvirar. El resultado es un vehículo demasiado potente con un rendimiento deficiente en las curvas.

Aún peor es la instalación de una unidad de potencia de gran tamaño en un vehículo de producción con motor trasero sin la correspondiente modificación de la suspensión o la distribución de masa, ya que el resultado será direccionalmente inestable a alta velocidad.

Limitaciones del análisis

Las fuerzas que surgen del deslizamiento dependen de la carga sobre el neumático así como del ángulo de deslizamiento; este efecto se ha ignorado, pero podría tenerse en cuenta asumiendo diferentes valores de k para los ejes delantero y trasero. El movimiento de balanceo debido a las curvas redistribuirá las cargas de los neumáticos entre el lado cercano y el exterior del vehículo, modificando nuevamente las fuerzas de los neumáticos. El par motor también redistribuye la carga entre los neumáticos delanteros y traseros.

Un análisis completo también debería tener en cuenta la respuesta de suspensión .

El análisis completo es esencial para el diseño de vehículos de carretera de alto rendimiento, pero está fuera del alcance de este artículo.

Aviación

El fuselaje detrás del centro de gravedad (CG) y la aleta caudal contribuyen a la estabilidad direccional.

La estabilidad direccional sobre el eje vertical de la aeronave también se conoce como guiñada . Esto se consigue principalmente mediante la zona del estabilizador vertical y los lados del fuselaje detrás del centro de gravedad. Cuando un avión vuela en línea recta mientras es golpeado por una ráfaga de viento lateral, el movimiento de guiñada izquierda/derecha será detenido por el aire que golpea el lado derecho/izquierdo del estabilizador vertical. ^[1]

Ver también

• Estabilidad relajada
• Manejo del coche
• Dinámica de vuelo
• rollo holandés
• Estabilidad longitudinal
• Oscilación de caza

Referencias

• Barwell FT: Automatización y control del transporte, Pergamon Press, 1972.
• Synge JL y BA Griffiths: Principios de mecánica, sección 6.3, McGraw-Hill Kogakusha Ltd, tercera edición, 1970.

1. "Manual de conocimientos aeronáuticos del piloto". Administración Federal de Aviación . 24 de agosto de 2016. pág. 5–19 . Consultado el 16 de enero de 2023 .

enlaces externos

• Medios relacionados con la estabilidad direccional en Wikimedia Commons