En matemáticas, un polinomio disperso (también polinomio lacunario [1] o pocosnomio ) [2] es un polinomio que tiene muchos menos términos de los que sugerirían su grado y número de variables . Por ejemplo, x 10 + 3x 3 − 1 es un polinomio disperso ya que es un trinomio con un grado de 10.
La motivación para estudiar polinomios dispersos es concentrarse en la estructura de los monomios de un polinomio en lugar de en su grado, como se puede ver, por ejemplo, al comparar el teorema de Bernstein-Kushnirenko con el teorema de Bezout . La investigación sobre polinomios dispersos también ha incluido trabajos en algoritmos cuyo tiempo de ejecución crece en función del número de términos en lugar del grado, [3] para problemas que incluyen multiplicación de polinomios [4] [5] , división , [6] raíz- algoritmos de búsqueda , [7] y máximos divisores comunes polinomiales . [8] Los polinomios dispersos también se han utilizado en matemáticas puras, especialmente en el estudio de los grupos de Galois , porque ha sido más fácil determinar los grupos de Galois de ciertas familias de polinomios dispersos que para otros polinomios. [9]
Las variedades algebraicas determinadas por polinomios dispersos tienen una estructura simple, que también se refleja en la estructura de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales relacionadas . [2] Además, existe una escasa positivstellensatz para polinomios dispersos univariados. Afirma que la no negatividad de un polinomio puede certificarse mediante polinomios cuyo grado sólo depende del número de monomios del polinomio. [10]
Los polinomios dispersos a menudo aparecen en ecuaciones de suma o diferencia de potencias. La suma de dos cubos establece que (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 . a 3 + b 3 , aquí, es un polinomio disperso.
Ver también
- Askold Khovanskii , uno de los principales contribuyentes a la teoría de los pocos nominales.
Referencias
- ^ Rédei, L. (1973), Polinomios lacunarios sobre campos finitos , traducido por Földes, I., Elsevier, MR 0352060
- ^ ab Khovanskiĭ, AG (1991), Fewnomials , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 88, traducido por Zdravkovska, Smilka, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, doi :10.1090/mmono/088, ISBN 0-8218-4547-0, señor 1108621
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