Verdadera anomalía

Parámetro de las órbitas keplerianas

La verdadera anomalía del punto P es el ángulo f . El centro de la elipse es el punto C y el foco es el punto F.

En mecánica celeste , la verdadera anomalía es un parámetro angular que define la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una órbita kepleriana . Es el ángulo entre la dirección del periapsis y la posición actual del cuerpo, visto desde el foco principal de la elipse (el punto alrededor del cual orbita el objeto).

La verdadera anomalía suele denotarse con las letras griegas ν o θ , o con la letra latina f , y suele estar restringida al rango de 0 a 360° (0 a 2π rad).

La verdadera anomalía f es uno de los tres parámetros angulares ( anomalías ) que definen una posición a lo largo de una órbita, siendo los otros dos la anomalía excéntrica y la anomalía media .

Fórmulas

De vectores de estado

Para órbitas elípticas, la verdadera anomalía ν se puede calcular a partir de vectores de estado orbital como:

${\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si r ⋅ v < 0 entonces reemplaza ν por 2 π − ν )

dónde:

• v es el vector de velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• e es el vector de excentricidad ,
• r es el vector de posición orbital (segmento FP en la figura) del cuerpo en órbita.

Órbita circular

Para las órbitas circulares, la verdadera anomalía no está definida, porque las órbitas circulares no tienen un periapsis determinado de forma única. En lugar de ello se utiliza el argumento de la latitud u :

${\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si r _z < 0 entonces reemplaza u por 2 π − u )

dónde:

• n es un vector que apunta hacia el nodo ascendente (es decir, el componente z de n es cero).
• r _z es el componente z del vector de posición orbital r

Órbita circular con inclinación cero.

Para órbitas circulares con inclinación cero, el argumento de la latitud tampoco está definido, porque no existe una línea de nodos determinada de forma única. En su lugar, se usa la longitud verdadera :

${\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si v _x > 0 entonces reemplaza l por 2 π − l )

dónde:

• r _x es el componente x del vector de posición orbital r
• v _x es el componente x del vector de velocidad orbital v .

De la anomalía excéntrica

La relación entre la anomalía verdadera ν y la anomalía excéntrica es: ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}$

o usando el seno ^[1] y la tangente :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}$

o equivalente:

${\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}$

entonces

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}$

^{Alternativamente, [2]} derivó una forma de esta ecuación que evita problemas numéricos cuando los argumentos están cerca , ya que las dos tangentes se vuelven infinitas. Además, como y siempre están en el mismo cuadrante, no habrá problemas de signos. ${\displaystyle \pm \pi }$ ${\displaystyle {\frac {E}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$

${\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}$dónde ${\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}$

entonces

${\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}$

De la anomalía media

La verdadera anomalía se puede calcular directamente a partir de la anomalía media mediante una expansión de Fourier : ^[3] ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}}$

con funciones y parámetros de Bessel . ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$

Omitiendo todos los términos de orden o superiores (indicados por ), se puede escribir como ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle e^{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$

${\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}$

Tenga en cuenta que, por razones de precisión, esta aproximación suele limitarse a órbitas donde la excentricidad es pequeña. ${\displaystyle e}$

La expresión se conoce como ecuación del centro , donde se dan más detalles sobre la expansión. ${\displaystyle \nu -M}$

Radio de la verdadera anomalía

El radio (distancia entre el foco de atracción y el cuerpo en órbita) está relacionado con la verdadera anomalía mediante la fórmula

${\displaystyle r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!}$

donde a es el semieje mayor de la órbita .

Ver también

• Las leyes del movimiento planetario de Kepler
• anomalía excéntrica
• anomalía media
• Elipse
• Hipérbola

Referencias

1. Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones por David A. Vallado
2. Broucke, R.; Cefola, P. (1973). "Una nota sobre las relaciones entre anomalías verdaderas y excéntricas en el problema de los dos cuerpos". Mecánica celeste . 7 (3): 388–389. Código Bib : 1973CeMec...7..388B. doi :10.1007/BF01227859. ISSN  0008-8714. S2CID  122878026.
3. Battin, RH (1999). Introducción a las matemáticas y los métodos de la astrodinámica. Serie de educación AIAA. Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. pag. 212 (ecuación (5.32)). ISBN 978-1-60086-026-3. Consultado el 2 de agosto de 2022 .
4. Inteligente, WM (1977). Libro de texto sobre astronomía esférica (PDF) . pag. 120 (ecuación (87)). Bibcode :1977tsa..libro.....S.
5. Roy, AE (2005). Movimiento orbital (4 ed.). Bristol, Reino Unido; Filadelfia, PA: Instituto de Física (IoP). pag. 78 (ecuación (4.65)). Código Bib : 2005ormo.book.......R. ISBN 0750310154. Archivado desde el original el 15 de mayo de 2021 . Consultado el 29 de agosto de 2020 .

Otras lecturas

• Murray, CD y Dermott, SF, 1999, Dinámica del sistema solar , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4 
• Plummer, HC, 1960, Tratado introductorio sobre astronomía dinámica , Publicaciones de Dover, Nueva York. OCLC  1311887 (Reimpresión de la edición de Cambridge University Press de 1918).

enlaces externos

• Administración Federal de Aviación: descripción de órbitas