Welch estudió matemáticas en la Universidad de Illinois con una licenciatura en 1951 y recibió su doctorado con Frederic Bohnenblust en Caltech en 1958 (El reordenamiento de funciones y maximización de una integral de convolución).
Es conocido, entre otras cosas, por las barreras MMRW para códigos binarios (con Robert J. McEliece, R. Rodemick, Howard Rumsey) y el algoritmo de Baum-Welch (también llamado así por Leonard E. Baum, quien trabajó en el instituto en a fines de la década de 1960) para establecer parámetros en un modelo oculto de Markov (HMM).
Su contribución a esto se encuentra en su Shannon Lecture 2003.
[3] El algoritmo de Berlekamp-Welch lleva su nombre y el de Elwyn Berlekamp por la corrección eficiente de errores en los códigos BCH y Reed-Solomon.
En 2003 recibió el premio Claude Shannon.