Kopúnek ha jugado desde joven en las categorías inferiores del FC Spartak Trnava de su ciudad natal.

En su primer encuentro fue expulsado al recibir una tarjeta roja.

Actualmente es el capitán del equipo, desde octubre de 2009.

El debut en la selección absoluta lo hizo en marzo de 2006, en un partido amistoso contra Francia.

En dicho torneó anotó el tercer gol de su equipo frente a Italia, en la victoria que clasificó a Eslovaquia para los octavos de final.