[4]​ Eveson comenzó a competir en deportes para discapacitados en 1995, practicando natación y baloncesto en silla de ruedas.

[12]​ En 2006, Eveson formó parte del equipo que ganó una medalla de bronce en los Campeonatos Mundiales.

[1]​ En 2008, formó parte del equipo que obtuvo la plata en la prueba paralímpica de Pekín.

[1]​ Ese año, fue capitán del equipo australiano que ganó el oro en la Copa Mundial Paralímpica celebrada en Mánchester, Inglaterra.

[16]​ Ha jugado al baloncesto profesional en silla de ruedas en Australia, Italia, España y Turquía.

En el primer partido de la temporada contra los Wollongong Roller Hawks, anotó 35 puntos.

[18]​ En 2008, recibió la Medalla Sandy Blythe otorgada al Jugador Internacional en Silla de Ruedas del Año.

[1]​ En 2009, los Premios Laureus al Atleta Mundial del Año lo nombraron como uno de sus finalistas.