Obtuvo el Doctorado en Filosofía y en Derecho Canónico en la Universidad Gregoriana de Roma.

Durante su ejercicio pastoral mantuvo una conducta institucional equidistante entre el gobierno provincial peronista, los sectores obreros y las clases medias tucumanas.

Esto permitió que durante el conflicto entre el gobierno de Juan Domingo Perón y la Iglesia Católica, entre 1954 y 1955, sus efectos no alcanzasen a la provincia de Tucumán.

Aramburu participó en todas las sesiones del Concilio Vaticano II.

Al momento de su muerte, el cardenal estaba junto a su secretario privado y familiar desde 1970, presbítero Miguel Ángel Irigoyen, quien le administró la unción de los enfermos.

[6]​ Se alternó con el cardenal Raúl Primatesta, arzobispo de Córdoba, en la cúpula de la Conferencia Episcopal Argentina y defendió la mediación papal en el conflicto limítrofe entre Chile y Argentina.