Mesa fue firmado inicialmente como amateur por los Azulejos de Toronto en 1981, originalmente como jardinero.
Después de 48 salidas con resultados por debajo del promedio durante cuatro temporadas, los Orioles transaron a Mesa a los Indios de Cleveland en 1992.
En 1997, la efectividad de 2.40 de Mesa, los 16 salvamentos, y su 4 victorias ayudó a los Indios a su segunda aparición en la Serie Mundial en tres temporadas.
My Life On and Off the Field".
No mucho después de mirar en sus ojos vacíos, perdió el rescate, y los Marlins empataron el juego.".
Mesa se puso furioso y ha reaccionado tirándole a Vizquel en cada ocasión en que se enfrentan en el terreno, y en una ocasión declaró: "Incluso mi hijo pequeño me dijo que le diera.