Draper asistió a la Parkside School de Stoke d'Abernon, Cobham, desde los cuatro hasta los once años, mientras era entrenado por Justin Sherring.
Le tocó el defensor del título, Novak Djokovic, en la primera ronda, donde se adjudicó el primer set por 6-4 antes de perder los tres siguientes y ceder el partido.
Dos semanas después, Draper continuó con su racha en la Città di Forlì IV, donde no era cabeza de serie y alcanzó su segunda final para hacerse con su segundo título Challenger tras derrotar a Tim van Rijthoven, por 6-1 y 6-2.
Draper se aseguró su tercer título Challenger consecutivo en su tercer torneo de Forlì, en Città di Forlì V, la semana siguiente, tras salvar cuatro bolas de partido en la final para derrotar a Alexander Ritschard en tres sets.
Draper ganó la semana siguiente su cuarto título Challenger en Saint-Brieuc, derrotando a Zizou Bergs en la final.
Perdió en segunda ronda contra el octavo cabeza de serie y número 20 del mundo, Karen Khachanov.
En el Adelaide International 2, venció al octavo cabeza de serie Tommy Paul en segunda ronda.
En su debut en este torneo, derrotó al vigésimo cuarto cabeza de serie, número 29 del mundo, y compatriota, Dan Evans, en la segunda ronda.
En la tercera ronda, venció al finalista de 2009, ex número 1 del mundo y compatriota, Andy Murray, en dos sets.
Llegó a la primera final de su carrera derrotando al alemán Jan-Lennard Struff.
Se convirtió en el británico más joven en alcanzar una final del ATP Tour desde Andy Murray en Miami 2009.
Draper venció a Matteo Berrettini en la final para alzarse con su primer título, siendo el octavo debutante como campeón del ATP Tour de 2024.
En el siguiente torneo sobre hierba, el Queen's Club Championships 2024, alcanzó los cuartos de final derrotando a Mariano Navone y al primer cabeza de serie y defensor del título, Carlos Alcaraz, en dos sets corridos.
[6] En Wimbledon, Draper derrotó al clasificado afro-sueco Elias Ymer en cinco sets en la primera ronda, pero perdió su siguiente partido contra su compatriota Cameron Norrie.