La ecuación KPZ (por las iniciales de sus creadores, Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Vi-Cheng Zhang) es una ecuación diferencial estocástica en derivadas parciales y no lineal.
Describe la variación temporal del grosor
{\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}
de una lámina.
Es un buen modelo de crecimiento de superficies.
Viene dada por la expresión:
{\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}\phi +{\frac {\lambda }{2}}\left[\nabla \phi \right]^{2}+\eta ({\vec {x}},t)\;}
{\displaystyle \eta ({\vec {x}},t)}
es un ruido gaussiano blanco cuyos primer y segundo momentos están dados por
, t ) η (
) δ ( t −
{\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\rangle =0\qquad {\mathtt {y}}\qquad \langle \eta ({\vec {x}},t)\eta ({\vec {x}}',t')\rangle =2D\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t')\,,}
son parámetros del modelo;
es la dimensión de la lámina y es un concepto bastante importante en la resolución de la ecuación y afecta al tipo de solución.
, t ) ϕ (
⟨ ϕ ( x ,
) ϕ ( x ,
{\displaystyle \langle \phi (x_{1},t)\phi (x_{2},t)\rangle \sim {\frac {1}{r^{d-2}}}\qquad {\mathtt {y}}\qquad \langle \phi (x,t_{1})\phi (x,t_{2})\rangle \sim {\frac {1}{t^{\frac {d-2}{2}}}}}