Circunferencia de Apolonio
En el caso r = 1 es fácil comprobar que el lugar geométrico descrito por el punto P es la recta mediatriz del segmento determinado por A y B.
b) Veamos que todo punto P perteneciente a la circunferencia de diámetro MN, donde AM/MB = AN/BN = r, cumple: AP/PB = r. La recta simétrica de PA respecto a PM corta a la recta AB en B', siendo PM y PN las bisectrices de De aquí resulta que AP/PB = r La demostración consta de dos partes: a) si P cumple la propiedad está sobre la circunferencia mencionada, b) si P es un punto de dicha circunferencia cumple la propiedad PA/PB = r. a) Considermos un punto P que cumpla la propiedad del lugar geométrico y que no esté alineado con A y B (PA/PB = r). Por ello : OA/OP = OP/OB = AP/PB = r. Multiplicando los dos primeros miembros de las igualdades anteriores obtenemos: (OA/OP)(OP/OB) = r2, es decir: OA/OB = r2. Como O es exterior al segmento AB resulta que O es un punto fijo de la recta AB, independiente de P. También tenemos que OA · OB es constante. Si designamos OA · OB por k2 (OA · OB = k2), tenemos: OP2= k2, por lo que P está sobre la circunferencia de centro O y radio k. (Observación: el caso de P alineado con A y B tiene dos posibilidades que se estudian directamente respecto al punto O obtenido, y se comprueba que también están sobre la circunferencia de Apolonio) b) Supongamos ahora que un punto P se encuentra situado sobre la circunferencia de centro O y cumple OP2 = OA · OB.
