Osman es hijo de padre turco y madre bosnia, y comenzó a jugar a baloncesto en las categorías inferiores del KK Bosna en 2001.

[2]​ En su etapa júnior se unió al Anadolu Efes S.K.

El 25 de junio de 2015, fue seleccionado en la trigésimo primera posición del 2015 por Minnesota Timberwolves, pero sus derechos, junto con los de Rakeem Christmas y una futura ronda del Draft, fueron traspasados a los Cleveland Cavaliers a cambio de los derechos sobre Tyus Jones esa misma noche.

[4]​ Tras seis temporadas en Cleveland, el 1 de julio de 2023, es traspasado, junto a Lamar Stevens, a San Antonio Spurs.

[6]​ En septiembre de 2022 disputó con el combinado absoluto turco el EuroBasket 2022, finalizando en décima posición.