Ondícula de Strömberg

En matemáticas , la ondícula de Strömberg es una ondícula ortonormal descubierta por Jan-Olov Strömberg y presentada en un artículo publicado en 1983. ^[1] Aunque anteriormente se sabía que la ondícula de Haar era una ondícula ortonormal, la ondícula de Strömberg fue la primera ondícula ortonormal suave que se descubrió. El término ondícula no se había acuñado en el momento de publicar el descubrimiento de la ondícula de Strömberg y la motivación de Strömberg era encontrar una base ortonormal para los espacios de Hardy . ^[1]

Definición

Sea m cualquier entero no negativo . Sea V cualquier subconjunto discreto del conjunto R de números reales . Entonces , V divide a R en intervalos que no se superponen . Para cualquier r en V , sea I _r el intervalo determinado por V con r como extremo izquierdo. Sea P ^{( m )} ( V ) el conjunto de todas las funciones f ( t ) sobre R que satisfacen las siguientes condiciones:

• f ( t ) es integrable al cuadrado .
• f ( t ) tiene derivadas continuas de todos los órdenes hasta m .
• f ( t ) es un polinomio de grado m + 1 en cada uno de los intervalos I _r .

Si A ₀ = {. . . , -2, -3/2, -1, -1/2} ∪ {0} ∪ {1, 2, 3, . . .} y A ₁ = A ₀ ∪ { 1/2 } entonces la ondícula de Strömberg de orden m es una función S ^m ( t ) que satisface las siguientes condiciones: ^[1]

• ${\displaystyle S^{m}(t)\in P^{(m)}(A_{1}).}$
• ${\displaystyle \Vert S^{m}(t)\Vert =1}$, eso es, ${\displaystyle \int _{R}\vert S^{m}(t)\vert ^{2}\,dt=1.}$
• ${\displaystyle S^{m}(t)}$es ortogonal a , es decir, para todo ${\displaystyle P^{(m)}(A_{0})}$ ${\displaystyle \int _{R}S^{m}(t)\,f(t)\,dt=0}$ ${\displaystyle f(t)\in P^{(m)}(A_{0}).}$

Propiedades del conjuntoPAG( m )(V)

Las siguientes son algunas de las propiedades del conjunto P ^{( m )} ( V ):

1. Sea dos el número de elementos distintos en V. Entonces f ( t ) ∈ P ^{( m )} ( V ) si y solo si f ( t ) = 0 para todo t .
2. Si el número de elementos en V es tres o más, entonces P ^{( m )} ( V ) contiene funciones distintas de cero.
3. Si V ₁ y V ₂ son subconjuntos discretos de R tales que V ₁ ⊂ V ₂ entonces P ^{( m )} ( V ₁ ) ⊂ P ^{( m )} ( V ₂ ). En particular, P ^{( m )} ( A ₀ ) ⊂ P ^{( m )} ( A ₁ ).
4. Si f ( t ) ∈ P ^{( m )} ( A ₁ ) entonces f ( t ) = g ( t ) + α λ( t ) donde α es constante y g ( t ) ∈ P ^{( m )} ( A ₀ ) se define por g ( r ) = f ( r ) para r ∈ A ₀ .

Ondícula de Strömberg como ondícula ortonormal

El siguiente resultado establece la ondícula de Strömberg como una ondícula ortonormal . ^[1]

Teorema

Sea S ^m la ondícula de Strömberg de orden m . Entonces el siguiente conjunto

${\displaystyle \left\{2^{j/2}S^{m}(2^{j}t-k):j,k{\text{ integers }}\right\}}$

es un sistema ortonormal completo en el espacio de funciones integrables al cuadrado sobre R .

Ondas de Strömberg de orden 0

El gráfico de la ondícula de Strömberg de orden 0. El gráfico está escalado de modo que el valor de la función ondícula en 1 es 1.

En el caso especial de las wavelets de Strömberg de orden 0, se pueden observar los siguientes hechos:

1. Si f ( t ) ∈ P ⁰ ( V ) entonces f ( t ) se define únicamente por el subconjunto discreto { f ( r ) : r ∈ V } de R .
2. A cada s ∈ A ₀ se le asocia una función especial λ _s en A ₀ : Se define por λ _s ( r ) = 1 si r = s y λ _s ( r ) = 0 si s ≠ r ∈ A ₀ . Estos elementos especiales en P ( A ₀ ) se denominan tiendas simples . La tienda simple especial λ _1/2 ( t ) se denota por λ( t )

Cálculo de la ondícula de Strömberg de orden 0

Como ya se ha observado, la wavelet de Strömberg S ⁰ ( t ) está completamente determinada por el conjunto { S ⁰ ( r ) : r ∈ A ₁ }. Utilizando las propiedades definitorias de la wavelet de Strömbeg, se pueden calcular expresiones exactas para los elementos de este conjunto, que se dan a continuación. ^[2]

${\displaystyle S^{0}(k)=S^{0}(1)({\sqrt {3}}-2)^{k-1}}$para ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle S^{0}({\tfrac {1}{2}})=-S^{0}(1)\left({\sqrt {3}}+{\tfrac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle S^{0}(0)=S^{0}(1)(2{\sqrt {3}}-2)}$

${\displaystyle S^{0}(-{\tfrac {k}{2}})=S^{0}(1)(2{\sqrt {3}}-2)({\sqrt {3}}-2)^{k}}$para ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

Aquí S ⁰ (1) es constante tal que || S ⁰ ( t )|| = 1.

Información adicional sobre la wavelet de Strömberg de orden 0

La ondícula de Strömberg de orden 0 tiene las siguientes propiedades. ^[2]

• La ondícula de Strömberg S ⁰ ( t ) oscila alrededor del eje t .
• La ondícula de Strömberg S ⁰ ( t ) tiene decaimiento exponencial .
• Los valores de S ⁰ ( t ) para valores integrales positivos de t y para valores semiintegrales negativos de t están relacionados de la siguiente manera: para ${\displaystyle S^{0}(-k/2)=(10-6{\sqrt {3}})S^{0}(k)}$ ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots \,.}$

Referencias

1. Janos-Olov Strömberg, Un sistema de Franklin modificado y sistemas spline de orden superior en R ⁿ como bases incondicionales para espacios de Hardy , Conferencia sobre análisis armónico en honor a A. Zygmond, vol. II, W. Beckner, et al (eds.) Wadsworth, 1983, págs. 475-494
2. P. Wojtaszczyk (1997). Introducción matemática a los wavelets . Cambridge University Press. págs. 5-14. ISBN 0521570204.