Volumen mixto

En matemáticas , más específicamente, en geometría convexa , el volumen mixto es una forma de asociar un número no negativo a una tupla de cuerpos convexos en . Este número depende del tamaño y la forma de los cuerpos, y de su orientación relativa entre sí. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

Sean cuerpos convexos en y considere la función ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,}$

donde representa el volumen de dimensión , y su argumento es la suma de Minkowski de los cuerpos convexos escalados . Se puede demostrar que es un polinomio homogéneo de grado , por lo que se puede escribir como ${\displaystyle {\text{Vol}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}$

donde las funciones son simétricas. Para una función de índice particular , el coeficiente se denomina volumen mixto de . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}$ ${\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}$ ${\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}$

Propiedades

• El volumen mixto está determinado únicamente por las tres propiedades siguientes:

1. ${\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)}$;
2. ${\displaystyle V}$es simétrico en sus argumentos;
3. ${\displaystyle V}$es multilineal: para . ${\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})}$ ${\displaystyle \lambda ,\lambda '\geq 0}$

• El volumen mixto no es negativo y aumenta monótonamente en cada variable: para . ${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}$ ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}$
• La desigualdad Alexandrov-Fenchel, descubierta por Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Werner Fenchel :

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

Numerosas desigualdades geométricas, como la desigualdad de Brunn-Minkowski para cuerpos convexos y la primera desigualdad de Minkowski , son casos especiales de la desigualdad de Alexandrov-Fenchel.

Quermassintegrales

Sea un cuerpo convexo y sea la bola euclidiana de radio unitario. El volumen mixto ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {n-j{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})}$

se llama la j - ésima integral de masa de . ^[1] ${\displaystyle K}$

La definición de volumen mixto da como resultado la fórmula de Steiner (llamada así en honor a Jakob Steiner ):

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.}$

Volúmenes intrínsecos

El j -ésimo volumen intrínseco de es una normalización diferente de la integral de quermasa, definida por ${\displaystyle K}$

${\displaystyle V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},}$o en otras palabras ${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j}).}$

¿Dónde está el volumen de la bola unitaria dimensional? ${\displaystyle \kappa _{n-j}={\text{Vol}}_{n-j}(B_{n-j})}$ ${\displaystyle (n-j)}$

Teorema de caracterización de Hadwiger

El teorema de Hadwiger afirma que toda valoración de cuerpos convexos que es continua e invariante bajo movimientos rígidos es una combinación lineal de las integrales de quermasa (o, equivalentemente, de los volúmenes intrínsecos). ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Notas

1. McMullen, Peter (1991). "Desigualdades entre volúmenes intrínsecos". Monatshefte für Mathematik . 111 (1): 47–53. doi : 10.1007/bf01299276 . SEÑOR  1089383.
2. Klain, Daniel A. (1995). "Una breve demostración del teorema de caracterización de Hadwiger". Mathematika . 42 (2): 329–339. doi :10.1112/s0025579300014625. MR  1376731.

Enlaces externos

Burago, Yu.D. (2001) [1994], "Teoría de volúmenes mixtos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press