El vigésimo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert establecidos en una célebre lista compilada en 1900 por David Hilbert . Pregunta si todos los problemas de valores en la frontera se pueden resolver (es decir, si los problemas variacionales con ciertas condiciones de frontera tienen solución).
Hilbert notó que existían métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales donde los valores de la función se daban en la frontera, pero el problema requería métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales con condiciones más complicadas en la frontera (por ejemplo, que involucraran derivadas de la función), o para resolver problemas de cálculo de variación en más de una dimensión (por ejemplo, problemas de superficie mínima o problemas de curvatura mínima)
El planteamiento original del problema en su totalidad es el siguiente:
Un problema importante estrechamente relacionado con lo anterior [refiriéndose al decimonoveno problema de Hilbert ] es la cuestión relativa a la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales cuando se prescriben los valores en el límite de la región. Este problema se resuelve principalmente mediante los métodos avanzados de HA Schwarz, C. Neumann y Poincaré para la ecuación diferencial del potencial. Estos métodos, sin embargo, parecen generalmente no ser capaces de extenderse directamente al caso en el que a lo largo de la frontera están prescritos los coeficientes diferenciales o cualquier relación entre éstos y los valores de la función. Tampoco pueden extenderse inmediatamente al caso en el que la investigación no es para superficies potenciales sino, por ejemplo, para superficies de área mínima, o superficies de curvatura gaussiana positiva constante, que deben pasar a través de una curva torcida prescrita o extenderse sobre un área determinada. superficie del anillo. Es mi convicción que será posible demostrar estos teoremas de existencia mediante un principio general cuya naturaleza está indicada por el principio de Dirichlet . Este principio general tal vez nos permita abordar la pregunta: ¿no tiene cada problema de variación regular una solución, siempre que se cumplan ciertas suposiciones relativas a las condiciones de contorno dadas (digamos que las funciones involucradas en estas condiciones de contorno son continuas y tienen en secciones una o más derivadas), y siempre que, si fuera necesario, se amplíe adecuadamente la noción de solución? [1]
En el campo de las ecuaciones diferenciales , un problema de valores en la frontera es una ecuación diferencial junto con un conjunto de restricciones adicionales, llamadas condiciones de frontera . Una solución a un problema de valores en la frontera es una solución a la ecuación diferencial que también satisface las condiciones de frontera.
Para que sea útil en aplicaciones, un problema de valor límite debe estar bien planteado . Esto significa que dada la entrada al problema existe una solución única, que depende continuamente de la entrada. Gran parte del trabajo teórico en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales se dedica a demostrar que los problemas de valores en la frontera que surgen de aplicaciones científicas y de ingeniería están, de hecho, bien planteados.