Vibración de placas

Modo de vibración de una placa cuadrada sujeta

La vibración de placas es un caso especial del problema más general de las vibraciones mecánicas . Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de las placas son más simples que las de los objetos tridimensionales generales porque una de las dimensiones de una placa es mucho más pequeña que las otras dos. Esto permite que una teoría de placas bidimensionales proporcione una excelente aproximación al movimiento tridimensional real de un objeto similar a una placa. ^[1]

Se han desarrollado varias teorías para describir el movimiento de las placas. Las más utilizadas son la teoría de Kirchhoff-Love ^[2] y la de Uflyand-Mindlin. ^{[3] [4]} Elishakoff analiza en detalle esta última teoría . ^[5] Las soluciones a las ecuaciones gobernantes predichas por estas teorías pueden darnos una idea del comportamiento de objetos en forma de placas tanto en condiciones libres como forzadas . Esto incluye la propagación de ondas y el estudio de ondas estacionarias y modos de vibración en placas. El tema de las vibraciones de las placas es tratado en libros de Leissa, ^{[6] [7]} Gontkevich, ^[8] Rao, ^[9] Soedel, ^[10] Yu, ^[11] Gorman ^{[12] [13]} y Rao. ^[14]

Platos Kirchhoff-Love

Las ecuaciones que rigen la dinámica de una placa de Kirchhoff-Love son

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }\end{aligned}}}$

donde están los desplazamientos en el plano de la superficie media de la placa, es el desplazamiento transversal (fuera del plano) de la superficie media de la placa, es una carga transversal aplicada que apunta hacia (hacia arriba) y la resultante Las fuerzas y los momentos se definen como ${\displaystyle u_{\alpha }}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\quad {\text{and}}\quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,.}$

Tenga en cuenta que el espesor de la placa es y que las resultantes se definen como promedios ponderados de las tensiones en el plano . Las derivadas en las ecuaciones gobernantes se definen como ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}:={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }:={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

donde los índices latinos van de 1 a 3 mientras que los índices griegos van de 1 a 2. La suma de índices repetidos está implícita. Las coordenadas están fuera del plano mientras que las coordenadas y están en el plano. Para una placa de espesor uniforme y densidad de masa homogénea ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2\rho h\quad {\text{and}}\quad J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}\rho h^{3}\,.}$

Platos isotrópicos Kirchhoff-Love

Para una placa isotrópica y homogénea, las relaciones tensión-deformación son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

donde están las deformaciones en el plano y es la relación de Poisson del material. Las relaciones deformación-desplazamiento para las placas de Kirchhoff-Love son ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.}$

Por lo tanto, los momentos resultantes correspondientes a estas tensiones son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}}$

Si ignoramos los desplazamientos en el plano , las ecuaciones gobernantes se reducen a ${\displaystyle u_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,}$

¿Dónde está la rigidez a la flexión de la placa? Para una placa de espesor uniforme , ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

La ecuación anterior también se puede escribir en una notación alternativa:

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w-{\hat {q}}+\rho w_{tt}=0\,.}$

En mecánica de sólidos , una placa a menudo se modela como un cuerpo elástico bidimensional cuya energía potencial depende de cómo se dobla desde una configuración plana, en lugar de cómo se estira (que es el caso de una membrana como un parche de tambor). ). En tales situaciones, una placa vibratoria se puede modelar de forma análoga a un tambor vibratorio . Sin embargo, la ecuación diferencial parcial resultante para el desplazamiento vertical w de una placa desde su posición de equilibrio es de cuarto orden, involucrando el cuadrado del Laplaciano de w , en lugar de segundo orden, y su comportamiento cualitativo es fundamentalmente diferente del de la membrana circular. tambor.

Vibraciones libres de placas isotrópicas.

Para vibraciones libres, la fuerza externa q es cero y la ecuación rectora de una placa isotrópica se reduce a

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h{\ddot {w}}}$

o

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w+\rho w_{tt}=0\,.}$

Esta relación se puede derivar de una manera alternativa considerando la curvatura de la placa. ^[15] La densidad de energía potencial de una placa depende de cómo se deforma la placa y, por lo tanto, de la curvatura media y la curvatura gaussiana de la placa. Para deformaciones pequeñas, la curvatura media se expresa en términos de w , el desplazamiento vertical de la placa desde el equilibrio cinético, como Δ w , el laplaciano de w , y la curvatura gaussiana es el operador de Monge-Ampère w _xx w _yy − w²
_xy. La energía potencial total de una placa Ω tiene por tanto la forma

${\displaystyle U=\int _{\Omega }[(\Delta w)^{2}+(1-\mu )(w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^{2})]\,dx\,dy}$

aparte de una constante de normalización general no esencial. Aquí μ es una constante que depende de las propiedades del material.

La energía cinética viene dada por una integral de la forma

${\displaystyle T={\frac {\rho }{2}}\int _{\Omega }w_{t}^{2}\,dx\,dy.}$

El principio de Hamilton afirma que w es un punto estacionario con respecto a las variaciones de la energía total T + U. La ecuación diferencial parcial resultante es

${\displaystyle \rho w_{tt}+\mu \Delta \Delta w=0.\,}$

Placas circulares

Para placas circulares que vibran libremente, y el laplaciano en coordenadas cilíndricas tiene la forma ${\displaystyle w=w(r,t)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\,.}$

Por lo tanto, la ecuación que rige las vibraciones libres de una placa circular de espesor es ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left\{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\right\}\right]=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

Ampliado,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial r^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial ^{3}w}{\partial r^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {\partial w}{\partial r}}=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

Para resolver esta ecuación usamos la idea de separación de variables y asumimos una solución de la forma

${\displaystyle w(r,t)=W(r)F(t)\,.}$

Introducir esta supuesta solución en la ecuación gobernante nos da

${\displaystyle {\frac {1}{\beta W}}\left[{\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {dW}{dr}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\cfrac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

donde es una constante y . La solución de la ecuación de la derecha es ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \beta :=2\rho h/D}$

${\displaystyle F(t)={\text{Re}}[Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}]\,.}$

La ecuación del lado izquierdo se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\cfrac {dW}{dr}}=\lambda ^{4}W}$

dónde . La solución general de este problema de valores propios que es apropiada para placas tiene la forma ${\displaystyle \lambda ^{4}:=\beta \omega ^{2}}$

${\displaystyle W(r)=C_{1}J_{0}(\lambda r)+C_{2}I_{0}(\lambda r)}$

donde es la función de Bessel de primer tipo de orden 0 y es la función de Bessel modificada de orden 0 de primer tipo. Las constantes y se determinan a partir de las condiciones de contorno. Para una placa de radio con una circunferencia sujeta, las condiciones de contorno son ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle W(r)=0\quad {\text{and}}\quad {\cfrac {dW}{dr}}=0\quad {\text{at}}\quad r=a\,.}$

A partir de estas condiciones de frontera encontramos que

${\displaystyle J_{0}(\lambda a)I_{1}(\lambda a)+I_{0}(\lambda a)J_{1}(\lambda a)=0\,.}$

Podemos resolver esta ecuación (y hay un número infinito de raíces) y a partir de ahí encontrar las frecuencias modales . También podemos expresar el desplazamiento en la forma ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}=\lambda _{n}^{2}/{\sqrt {\beta }}}$

${\displaystyle w(r,t)=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\left[J_{0}(\lambda _{n}r)-{\frac {J_{0}(\lambda _{n}a)}{I_{0}(\lambda _{n}a)}}I_{0}(\lambda _{n}r)\right][A_{n}e^{i\omega _{n}t}+B_{n}e^{-i\omega _{n}t}]\,.}$

Para una frecuencia dada, el primer término dentro de la suma en la ecuación anterior da la forma del modo. Podemos encontrar el valor de usar la condición de contorno apropiada en y los coeficientes y a partir de las condiciones iniciales aprovechando la ortogonalidad de los componentes de Fourier. ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$

• 
  modo n = 1
• 
  modo n = 2

Platos rectangulares

Un modo de vibración de una placa rectangular.

Considere una placa rectangular que tiene dimensiones en el plano y espesor en la dirección. Buscamos encontrar los modos de vibración libre de la placa. ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle x_{3}}$

Suponga un campo de desplazamiento de la forma

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=W(x_{1},x_{2})F(t)\,.}$

Entonces,

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}=\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]F(t)}$

y

${\displaystyle {\ddot {w}}=W(x_{1},x_{2}){\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}\,.}$

Al conectarlos a la ecuación gobernante se obtiene

${\displaystyle {\frac {D}{2\rho hW}}\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

donde es una constante porque el lado izquierdo es independiente de mientras que el lado derecho es independiente de . Desde el lado derecho, tenemos entonces ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

${\displaystyle F(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}\,.}$

Desde el lado izquierdo,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}={\frac {2\rho h\omega ^{2}}{D}}W=:\lambda ^{4}W}$

dónde

${\displaystyle \lambda ^{2}=\omega {\sqrt {\frac {2\rho h}{D}}}\,.}$

Dado que la ecuación anterior es un problema de valores propios biarmónicos , buscamos soluciones de expansión de Fourier de la forma

${\displaystyle W_{mn}(x_{1},x_{2})=\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\,.}$

Podemos comprobar y ver que esta solución satisface las condiciones de contorno para una placa rectangular que vibra libremente con bordes simplemente apoyados:

${\displaystyle {\begin{aligned}w(x_{1},x_{2},t)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\quad {\text{and}}\quad x_{2}=0,b\\M_{11}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\\M_{22}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{2}=0,b\,.\end{aligned}}}$

Introducir la solución en la ecuación biarmónica nos da

${\displaystyle \lambda ^{2}=\pi ^{2}\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)\,.}$

La comparación con la expresión anterior para indica que podemos tener un número infinito de soluciones con ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle \omega _{mn}=\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right){\sqrt {\frac {D\pi ^{4}}{2\rho h}}}\,.}$

Por lo tanto, la solución general para la ecuación de la placa es

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\left(A_{mn}e^{i\omega _{mn}t}+B_{mn}e^{-i\omega _{mn}t}\right)\,.}$

Para encontrar los valores de y utilizamos las condiciones iniciales y la ortogonalidad de las componentes de Fourier. Por ejemplo, si ${\displaystyle A_{mn}}$ ${\displaystyle B_{mn}}$

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},0)=\varphi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{1}\in [0,a]\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial w}{\partial t}}(x_{1},x_{2},0)=\psi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{2}\in [0,b]}$

obtenemos,

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{mn}&={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\varphi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\\B_{mn}&={\frac {4}{ab\omega _{mn}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\psi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\,.\end{aligned}}}$

Referencias

1. Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y conchas elásticas , CRC Press, Taylor y Francis.
2. AEH Love , Sobre las pequeñas vibraciones libres y deformaciones de las capas elásticas , Trans filosófica. de la Royal Society (Londres), 1888, vol. serie A, N° 17 p. 491–549.
3. Uflyand, Ya. S., 1948, Propagación de ondas mediante vibraciones transversales de vigas y placas, PMM: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 12, págs. 287-300 (en ruso)
4. Mindlin, RD 1951, Influencia de la inercia rotatoria y el corte en los movimientos de flexión de placas elásticas isotrópicas, ASME Journal of Applied Mechanics, vol. 18 págs. 31–38
5. Elishakoff, I., 2020, Manual sobre las teorías del haz de Timoshenko-Ehrenfest y de las placas Uflyand-Mindlin , World Scientific, Singapur, ISBN  978-981-3236-51-6
6. Leissa, AW, 1969, Vibración de placas, NASA SP-160, Washington, DC: Imprenta del gobierno de EE. UU.
7. Leissa, AW y Qatu, MS, 2011, Vibración de sistemas continuos, Nueva York: Mc Graw-Hill
8. Gontkevich, VS, 1964, Vibraciones naturales de placas y conchas, Kiev: Editores “Naukova Dumka”, 1964 (en ruso); (Traducción al inglés: Lockheed Missiles & Space Co., Sunnyvale, CA)
9. Rao, SS, Vibración de sistemas continuos, Nueva York: Wiley
10. Soedel, W., 1993, Vibraciones de conchas y placas, Nueva York: Marcel Dekker Inc., (segunda edición)
11. Yu, YY,1996, Vibraciones de placas elásticas, Nueva York: Springer
12. Gorman, D., 1982, Análisis de vibración libre de placas rectangulares, Amsterdam: Elsevier
13. Gorman, DJ, 1999, Análisis de vibraciones de placas mediante método de superposición, Singapur: World Scientific
14. Rao, JS, 1999, Dinámica de placas, Nueva Delhi: Editorial Narosa
15. Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Métodos de física matemática. vol. Yo , Interscience Publishers, Inc., Nueva York, NY, MR  0065391

Ver también

• Doblar
• Doblado de placas
• Figuras de Chladni
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Kirchhoff-Teoría del plato de amor
• Elasticidad lineal
• Teoría de las placas de Mindlin-Reissner
• Teoría de placas
• Estrés (mecánica)
• Resultantes de estrés
• Acústica estructural