Optimización de vectores

La optimización vectorial es un subárea de la optimización matemática en la que los problemas de optimización con funciones objetivo con valores vectoriales se optimizan con respecto a un ordenamiento parcial dado y están sujetos a ciertas restricciones. Un problema de optimización multiobjetivo es un caso especial de un problema de optimización vectorial: el espacio objetivo es el espacio euclidiano de dimensión finita parcialmente ordenado por el ordenamiento "menor o igual a" de los componentes.

Formulación del problema

En términos matemáticos, un problema de optimización vectorial se puede escribir como:

${\displaystyle C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)}$

donde para un espacio vectorial parcialmente ordenado . El ordenamiento parcial es inducido por un cono . es un conjunto arbitrario y se denomina conjunto factible. ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C\subseteq Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$

Conceptos de solución

Existen diferentes nociones de minimalidad, entre ellas:

• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$es un punto débilmente eficiente (minimizador débil) si para cada uno tiene . ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C}$
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$es un punto eficiente (minimizador) si para cada uno tiene . ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}}$
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$es un punto adecuadamente eficiente (minimizador adecuado) si es un punto débilmente eficiente con respecto a un cono convexo puntiagudo cerrado donde . ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle C\backslash \{0\}\subseteq \operatorname {int} {\tilde {C}}}$

Todo minimizador adecuado es un minimizador. Y todo minimizador es un minimizador débil. ^[1]

Los conceptos de solución modernos no sólo consisten en nociones de minimalidad sino que también tienen en cuenta el logro del mínimo . ^[2]

Métodos de solución

• Algoritmo de Benson para problemas de optimización vectorial lineal . ^[2]

Relación con la optimización multiobjetivo

Cualquier problema de optimización multiobjetivo se puede escribir como

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)}$

donde y es el ortante no negativo de . Por lo tanto, el minimizador de este problema de optimización vectorial son los puntos eficientes en el sentido de Pareto . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Referencias

1. Ginchev, I.; Guerraggio, A.; Rocca, M. (2006). "De la optimización escalar a la optimización vectorial" (PDF) . Aplicaciones de las matemáticas . 51 : 5–36. doi :10.1007/s10492-006-0002-1. hdl : 10338.dmlcz/134627 . S2CID  121346159.
2. Andreas Löhne (2011). Optimización de Vectores con Infimum y Supremum . Saltador. ISBN 9783642183508.