En matemáticas , una variedad lineal por partes ( variedad PL ) es una variedad topológica junto con una estructura lineal por partes sobre ella. Dicha estructura se puede definir por medio de un atlas , de modo que se pueda pasar de un diagrama a otro en él mediante funciones lineales por partes . Esto es ligeramente más fuerte que la noción topológica de triangulación . [a] Un isomorfismo de variedades PL se llama homeomorfismo PL..
PL, o más precisamente PDIFF, se encuentra entre DIFF (la categoría de variedades suaves ) y TOP (la categoría de variedades topológicas): se comporta categóricamente "mejor" que DIFF —por ejemplo, la conjetura de Poincaré generalizada es verdadera en PL (con la posible excepción de la dimensión 4, donde es equivalente a DIFF), pero es falsa en general en DIFF— pero se comporta "peor" que TOP, como se explica en la teoría de la cirugía .
Las variedades lisas tienen estructuras PL canónicas (son triangulizables de forma única, según el teorema de triangulación de Whitehead (Whitehead 1940) [1] [2] ), pero las variedades PL no siempre tienen estructuras lisas (no siempre son lisables). Esta relación se puede elaborar introduciendo la categoría PDIFF , que contiene tanto a DIFF como a PL, y es equivalente a PL.
Una forma en la que PL se comporta mejor que DIFF es que se pueden tomar conos en PL, pero no en DIFF (el punto del cono es aceptable en PL). Una consecuencia es que la conjetura generalizada de Poincaré es verdadera en PL para dimensiones mayores que cuatro (la prueba es tomar una esfera de homotopía , quitar dos bolas, aplicar el teorema del h -cobordismo para concluir que se trata de un cilindro y luego unir conos para recuperar una esfera). Este último paso funciona en PL pero no en DIFF, dando lugar a esferas exóticas .
No todas las variedades topológicas admiten una estructura PL y, en el caso de las que sí la admiten, la estructura PL no tiene por qué ser única, sino que puede tener infinitas. Esto se explica en Hauptvermutung .
La obstrucción para colocar una estructura PL en una variedad topológica es la clase Kirby-Siebenmann . Para ser precisos, la clase Kirby-Siebenmann es la obstrucción para colocar una estructura PL en M x R y en dimensiones n > 4, la clase KS se anula si y solo si M tiene al menos una estructura PL.
Una A-estructura en una variedad PL es una estructura que proporciona una forma inductiva de resolver la variedad PL en una variedad lisa. Las variedades PL compactas admiten A-estructuras. [3] [4] Las variedades PL compactas son homeomorfas a los conjuntos algebraicos reales . [5] [6] Dicho de otro modo, la categoría A se sitúa sobre la categoría PL como una categoría más rica sin obstáculos para la elevación, es decir, BA → BPL es una fibración de producto con BA = BPL × PL/A, y las variedades PL son conjuntos algebraicos reales porque las variedades A son conjuntos algebraicos reales.