En matemáticas , la construcción de la variedad de Prym (llamada así por Friedrich Prym ) es un método en geometría algebraica para hacer una variedad abeliana a partir de un morfismo de curvas algebraicas . En su forma original, se aplicó a una doble cobertura no ramificada de una superficie de Riemann , y fue utilizada por F. Schottky y HWE Jung en relación con el problema de Schottky , como se lo llama ahora, de caracterizar variedades jacobianas entre variedades abelianas. Se dice que apareció por primera vez en el trabajo tardío de Riemann , y fue estudiada extensamente por Wirtinger en 1895, incluidos los casos degenerados.
Dado un morfismo no constante
De curvas algebraicas, escriba J i para la variedad jacobiana de C i . Luego, a partir de φ, construya el morfismo correspondiente.
que se puede definir en una clase divisoria D de grado cero aplicando φ a cada punto del divisor. Este es un morfismo bien definido, a menudo llamado homomorfismo de norma . Entonces la variedad de Prym de φ es el núcleo de ψ. Para calificar eso de alguna manera, para obtener una variedad abeliana , se puede tener en cuenta el componente conexo de la identidad del esquema reducido subyacente al núcleo. O en otras palabras, tome la subvariedad abeliana más grande de J 1 en la que ψ es trivial.
La teoría de las variedades de Prym estuvo inactiva durante mucho tiempo, hasta que David Mumford la revivió alrededor de 1970. Ahora desempeña un papel sustancial en algunas teorías contemporáneas, por ejemplo, la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili . Una ventaja del método es que permite aplicar la teoría de curvas al estudio de una clase más amplia de variedades abelianas que las jacobianas. Por ejemplo, las variedades abelianas principalmente polarizadas (ppav) de dimensión > 3 no son generalmente jacobianas, pero todas las ppav de dimensión 5 o menos son variedades de Prym. Es por esta razón que las ppav se entienden bastante bien hasta la dimensión 5.