Mapa exponencial (geometría de Riemann)

En geometría de Riemann , una función exponencial es una función de un subconjunto de un espacio tangente T _p M de una variedad de Riemann (o variedad pseudo-Riemanniana ) M a M misma. La métrica (pseudo) Riemanniana determina una conexión afín canónica, y la función exponencial de la variedad (pseudo) Riemanniana está dada por la función exponencial de esta conexión.

Definición

Sea $M$ una variedad diferenciable y $p$ un punto de $M$ . Una conexión afín en $M$ permite definir la noción de una línea recta que pasa por el punto $p$ . ^[1]

Sea $v \in T p M$ un vector tangente a la variedad en $p$ . Entonces existe una geodésica única $γ v$ :[0,1] → $M$ que satisface $γ v (0) = p$ con vector tangente inicial $γ' v (0) = v$ . La función exponencial correspondiente se define por $exp p (v) = γ v (1)$ . En general, la función exponencial solo está definida localmente , es decir, solo toma una pequeña vecindad del origen en $T p M$ , para una vecindad de $p$ en la variedad. Esto se debe a que se basa en el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias que es de naturaleza local. Una conexión afín se llama completa si la función exponencial está bien definida en cada punto del fibrado tangente .

Propiedades

Intuitivamente hablando, la función exponencial toma un vector tangente dado a la variedad, recorre la geodésica comenzando en ese punto y va en esa dirección, durante una unidad de tiempo. Dado que v corresponde al vector de velocidad de la geodésica, la distancia real (riemanniana) recorrida dependerá de eso. También podemos repararmetrizar las geodésicas para que sean velocidad unitaria, por lo que, de manera equivalente, podemos definir exp _p ( v ) = β(| v |) donde β es la geodésica de velocidad unitaria (geodésica parametrizada por la longitud del arco) que va en la dirección de v . A medida que variamos el vector tangente v obtendremos, al aplicar exp _p , diferentes puntos en M que están a cierta distancia del punto base p —esta es quizás una de las formas más concretas de demostrar que el espacio tangente a una variedad es una especie de "linealización" de la variedad.

El teorema de Hopf-Rinow afirma que es posible definir la función exponencial en todo el espacio tangente si y solo si la variedad es completa como un espacio métrico (lo que justifica el término usual geodésicamente completa para una variedad que tiene una función exponencial con esta propiedad). En particular, las variedades compactas son geodésicamente completas. Sin embargo, incluso si exp _p se define en todo el espacio tangente, en general no será un difeomorfismo global . Sin embargo, su diferencial en el origen del espacio tangente es la función identidad y, por lo tanto, por el teorema de la función inversa podemos encontrar un entorno del origen de T _p M en el que la función exponencial es una incrustación (es decir, la función exponencial es un difeomorfismo local). El radio de la bola más grande alrededor del origen en T _p M que se puede mapear difeomórficamente a través de exp _p se llama radio de inyectividad de M en p . El lugar de corte del mapa exponencial es, en términos generales, el conjunto de todos los puntos donde el mapa exponencial no logra tener un mínimo único.

Una propiedad importante del mapa exponencial es el siguiente lema de Gauss (otro lema de Gauss ): dado cualquier vector tangente v en el dominio de definición de exp _p , y otro vector w basado en la punta de v (por lo tanto, w está en realidad en el espacio doblemente tangente T _v (T _p M )) y es ortogonal a v , w permanece ortogonal a v cuando se empuja hacia adelante a través del mapa exponencial. Esto significa, en particular, que la esfera límite de una bola pequeña alrededor del origen en T _p M es ortogonal a las geodésicas en M determinadas por esos vectores (es decir, las geodésicas son radiales ). Esto motiva la definición de coordenadas normales geodésicas en una variedad de Riemann.

El mapa exponencial también es útil para relacionar la definición abstracta de curvatura con la realización más concreta de la misma concebida originalmente por el propio Riemann: la curvatura seccional se define intuitivamente como la curvatura gaussiana de alguna superficie (es decir, una división de la variedad por una subvariedad bidimensional) a través del punto p en consideración. A través del mapa exponencial, ahora se puede definir con precisión como la curvatura gaussiana de una superficie a través de p determinada por la imagen bajo exp _p de un subespacio bidimensional de T _p M .

Relaciones con los mapas exponenciales en la teoría de Lie

En el caso de los grupos de Lie con una métrica bi-invariante —una métrica pseudo-riemanniana invariante tanto bajo traslación izquierda como derecha— las funciones exponenciales de la estructura pseudo-riemanniana son las mismas que las funciones exponenciales del grupo de Lie . En general, los grupos de Lie no tienen una métrica bi-invariante, aunque todos los grupos de Lie semi-simples (o reductivos) conexos sí la tienen. La existencia de una métrica riemanniana bi-invariante es más fuerte que la de una métrica pseudo-riemanniana, e implica que el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto; a la inversa, cualquier grupo de Lie compacto (o abeliano) tiene una métrica riemanniana de este tipo.

Tomemos el ejemplo que da el mapa exponencial "honesto". Consideremos los números reales positivos R ⁺ , un grupo de Lie bajo la multiplicación habitual. Entonces cada espacio tangente es simplemente R . En cada copia de R en el punto y , introducimos el producto interno modificado multiplicándolos como números reales habituales pero escalando por y ² (esto es lo que hace que la métrica sea invariante por la izquierda, ya que la multiplicación por la izquierda por un factor simplemente extraerá el producto interno, dos veces, cancelando el cuadrado en el denominador). $\langle u,v\rangle _ {y}={\frac {uv}{y^{2}}}$

Consideremos el punto 1 ∈ R ⁺ , y x ∈ R un elemento del espacio tangente en 1. La línea recta habitual que emana de 1, es decir y ( t ) = 1 + xt cubre el mismo camino que una geodésica, por supuesto, excepto que tenemos que repararmetrizar para obtener una curva con velocidad constante ("velocidad constante", recuerde, no va a ser la velocidad constante ordinaria, porque estamos usando esta métrica curiosa). Para hacer esto reparametrizamos por longitud de arco (la integral de la longitud del vector tangente en la norma inducida por la métrica modificada): $|\cdot |_{y}$ $s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|$

y después de invertir la función para obtener $t$ como función de $s$ , sustituimos y obtenemos $y(s)=e^{sx/|x|}$

Ahora, utilizando la definición de velocidad unitaria, obtenemos el e ^x esperado . $\exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),$

La distancia de Riemann definida por esto es simplemente $\operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.$

Véase también

Lista de temas exponenciales

Notas

^ Una fuente para esta sección es Kobayashi y Nomizu (1996, §III.6), que utiliza el término "conexión lineal" donde nosotros utilizamos "conexión afín" en su lugar.

Referencias

Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (1975), Teoremas de comparación en geometría de Riemann , Elsevier. Véase el Capítulo 1, Secciones 2 y 3.
do Carmo, Manfredo P. (1992), Geometría riemanniana , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8. Véase el capítulo 3.
"Mapeo exponencial", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Helgason, Sigurdur (2001), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Graduate Studies in Mathematics , vol. 34, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2848-9, Sr. 1834454.
Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.