En matemáticas, la propiedad de disminución de la variación de ciertos objetos matemáticos implica disminuir el número de cambios de signo (de positivo a negativo o viceversa).
La propiedad de disminución de la variación de las curvas de Bézier es que son más suaves que el polígono formado por sus puntos de control. Si se traza una línea a través de la curva, el número de intersecciones con la curva será menor o igual que el número de intersecciones con el polígono de control. En otras palabras, para una curva de Bézier B definida por el polígono de control P , la curva no tendrá más intersecciones con ningún plano que las que ese plano tiene con P . Esto se puede generalizar a dimensiones superiores. [1]
Esta propiedad fue estudiada por primera vez por Isaac Jacob Schoenberg en su artículo de 1930, Über varyingvermindernde lineare Transformationen . [2] Luego la derivó mediante una transformación de la regla de signos de Descartes . [3]
La prueba utiliza el proceso de elevación de grados repetida de la curva de Bézier . El proceso de elevación de grados para las curvas de Bézier puede considerarse un ejemplo de interpolación lineal por partes . Se puede demostrar que la interpolación lineal por partes disminuye la variación. [4] Por lo tanto, si R 1 , R 2 , R 3 y así sucesivamente denotan el conjunto de polígonos obtenidos por la elevación de grados del polígono de control inicial R , entonces se puede demostrar que
Utilizando los puntos anteriores, decimos que dado que la curva de Bézier B es el límite de estos polígonos cuando r tiende a , tendrá menos intersecciones con un plano dado que R i para todo i , y en particular menos intersecciones que el polígono de control original R . Esta es la declaración de la propiedad de disminución de la variación.
La propiedad de disminución de la variación de las matrices totalmente positivas es una consecuencia de su descomposición en productos de matrices de Jacobi .
La existencia de la descomposición se deduce del algoritmo de triangulación de Gauss-Jordan. De ello se desprende que sólo necesitamos demostrar la propiedad VD para una matriz de Jacobi.
Los bloques de mapas de Dirichlet a Neumann de gráficos planares tienen la propiedad de disminuir la variación.
