Método de características

Técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas

En matemáticas , el método de las características es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Por lo general, se aplica a ecuaciones de primer orden , aunque de manera más general, el método de las características es válido para cualquier ecuación diferencial parcial hiperbólica y parabólica . El método consiste en reducir una ecuación diferencial parcial a una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias a lo largo de las cuales se puede integrar la solución a partir de algunos datos iniciales dados en una hipersuperficie adecuada .

Características de la ecuación diferencial parcial de primer orden

Para una EDP de primer orden ( ecuación diferencial parcial ), el método de características descubre curvas (llamadas curvas características o simplemente características) a lo largo de las cuales la EDP se convierte en una ecuación diferencial ordinaria (EDO). ^[1] Una vez que se encuentra la EDO, se puede resolver a lo largo de las curvas características y transformarse en una solución para la EDP original.

Para simplificar, por el momento nos centraremos en el caso de una función de dos variables independientes x e y . Consideremos una ecuación diferencial parcial cuasilineal de la forma

Supóngase que se conoce una solución z y considere la gráfica de superficie z  =  z ( x , y ) en R ³ . Un vector normal a esta superficie está dado por

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial z}{\partial y}}(x,y),-1\right).\,}$

Como resultado, ^[2] la ecuación ( 1 ) es equivalente a la afirmación geométrica de que el campo vectorial

${\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,}$

es tangente a la superficie z  =  z ( x , y ) en cada punto, ya que el producto escalar de este campo vectorial con el vector normal anterior es cero. En otras palabras, la gráfica de la solución debe ser una unión de curvas integrales de este campo vectorial. Estas curvas integrales se denominan curvas características de la ecuación diferencial parcial original y están dadas por las ecuaciones de Lagrange ^{-Charpit [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\[8pt]{\frac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\[8pt]{\frac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}}$

Una forma invariante de parametrización de las ecuaciones de Lagrange-Charpit ^[3] es:

${\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.}$

Casos lineales y cuasilineales

Consideremos ahora una EDP de la forma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).}$

Para que esta EDP sea lineal , los coeficientes a _i pueden ser funciones de las variables espaciales únicamente e independientes de u . Para que sea cuasilineal, ^[4] a _i también puede depender del valor de la función, pero no de ninguna derivada. La distinción entre estos dos casos no es esencial para el presente análisis.

Para una EDP lineal o cuasilineal, las curvas características se dan paramétricamente mediante

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},u)=(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s))}$

${\displaystyle u(\mathbf {X} (s))=U(s)}$

de manera que se satisface el siguiente sistema de EDO

Las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) dan las características de la EDP.

Prueba para el caso cuasilineal

En el caso cuasilineal, el uso del método de características se justifica por la desigualdad de Grönwall . La ecuación anterior puede escribirse como $${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)}$$

Debemos distinguir entre las soluciones de la EDO y las soluciones de la EDP, que no sabemos a priori que sean iguales. Si las soluciones de la EDO son mayúsculas, encontramos $${\displaystyle \mathbf {X} '(s)=\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))}$$ $${\displaystyle U'(s)=c(\mathbf {X} (s),U(s))}$$

Examinando , encontramos, al diferenciar lo que es lo mismo que ${\displaystyle \Delta (s)=|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}}$ $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {X} '(s)\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-U'(s){\Big )}}$$ $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s)){\Big )}}$$

No podemos concluir que lo anterior es 0 como nos gustaría, ya que la EDP solo nos garantiza que esta relación se satisface para , , y aún no sabemos que . ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)}$ ${\displaystyle U(s)=u(\mathbf {X} (s))}$

Sin embargo, podemos ver que, según la EDP, el último término es 0. Esto es igual a $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s))-{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}}$$ $${\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-{\big (}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}}$$

Por la desigualdad triangular, tenemos $${\displaystyle |\Delta '(s)|\leq 2{\big |}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big |}{\Big (}{\big \|}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big \|}\ \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|+{\big |}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big |}{\Big )}}$$

Suponiendo que son al menos , podemos limitar esto para tiempos pequeños. Elija un entorno lo suficientemente pequeño como para que sean localmente Lipschitz . Por continuidad, permanecerá en para suficientemente pequeño . Dado que , también tenemos que estará en para suficientemente pequeño por continuidad. Entonces, y para . Además, para algunos para por compacidad. A partir de esto, encontramos que lo anterior está acotado como para algunos . Es una aplicación directa de la desigualdad de Grönwall para mostrar que, dado que tenemos para mientras se cumpla esta desigualdad. Tenemos algún intervalo tal que en este intervalo. Elija el más grande tal que esto sea cierto. Luego, por continuidad, . Siempre que la EDO todavía tenga una solución en algún intervalo después de , podemos repetir el argumento anterior para encontrar que en un intervalo más grande. Por lo tanto, siempre que la EDO tenga una solución, tenemos . ${\displaystyle \mathbf {a} ,c}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {X} (0),U(0)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,c}$ ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle U(0)=u(\mathbf {X} (0))}$ ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))\in \Omega }$ ${\displaystyle (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\in \Omega }$ ${\displaystyle s\in [0,s_{0}]}$ ${\displaystyle \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|\leq M}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s\in [0,s_{0}]}$ $${\displaystyle |\Delta '(s)|\leq C|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}=C|\Delta (s)|}$$ ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta (0)=0}$ ${\displaystyle \Delta (s)=0}$ ${\displaystyle [0,\varepsilon )}$ ${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle U(\varepsilon )=u(\mathbf {X} (\varepsilon ))}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$ ${\displaystyle u(X(s))=U(s)}$

Caso completamente no lineal

Considere la ecuación diferencial parcial

donde las variables p _i son una abreviatura de las derivadas parciales

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.}$

Sea ( x _i ( s ), u ( s ), p _i ( s )) una curva en R ²ⁿ⁺¹ . Supóngase que u es cualquier solución, y que

${\displaystyle u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).}$

A lo largo de una solución, diferenciando ( 4 ) con respecto a s se obtiene

${\displaystyle \sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0}$

${\displaystyle {\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0}$

${\displaystyle \sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.}$

La segunda ecuación se obtiene al aplicar la regla de la cadena a una solución u , y la tercera se obtiene al tomar una derivada exterior de la relación . Al manipular estas ecuaciones se obtiene ${\displaystyle du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\dot {p}}_{i}=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}),\quad {\dot {u}}=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}}$

donde λ es una constante. Escribiendo estas ecuaciones de forma más simétrica, se obtienen las ecuaciones de Lagrange-Charpit para la función característica

${\displaystyle {\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.}$

Geométricamente, el método de características en el caso totalmente no lineal puede interpretarse como que requiere que el cono de Monge de la ecuación diferencial sea tangente en todos los puntos a la gráfica de la solución. La ecuación diferencial parcial de segundo orden se resuelve con el método de Charpit .

Ejemplo

Como ejemplo, considere la ecuación de advección (este ejemplo supone familiaridad con la notación de EDP y soluciones a EDO básicas).

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

donde es constante y es una función de y . Queremos transformar esta EDP lineal de primer orden en una EDO a lo largo de la curva apropiada; es decir, algo de la forma ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),}$

donde es una línea característica. Primero, encontramos ${\displaystyle (x(s),t(s))}$

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}$

por la regla de la cadena. Ahora, si establecemos y obtenemos ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$ ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

que es el lado izquierdo de la ecuación diferencial parcial con la que empezamos. Por lo tanto

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}$

Así, a lo largo de la línea característica , la EDP original se convierte en la EDO . Es decir, a lo largo de la línea característica, la solución es constante. Por lo tanto, donde y se encuentran en la misma característica. Por lo tanto, para determinar la solución general, es suficiente encontrar las características resolviendo el sistema característico de EDO: ${\displaystyle (x(s),t(s))}$ ${\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}$ ${\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}$ ${\displaystyle (x_{s},t_{s})\,}$ ${\displaystyle (x_{0},0)}$

• ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$, haciéndonos saber , ${\displaystyle t(0)=0}$ ${\displaystyle t=s}$
• ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$, haciéndonos saber , ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}}$
• ${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}$, haciéndonoslo saber . ${\displaystyle u(0)=f(x_{0})}$ ${\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)}$

En este caso, las líneas características son líneas rectas con pendiente , y el valor de permanece constante a lo largo de cualquier línea característica. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle u}$

Características de los operadores diferenciales lineales

Sea X una variedad diferenciable y P un operador diferencial lineal

${\displaystyle P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}$

de orden k . En un sistema de coordenadas local x ⁱ ,

${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}$

donde α denota un multiíndice . El símbolo principal de P , denotado σ _P , es la función en el fibrado cotangente T ^∗ X definida en estas coordenadas locales por

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }}$

donde ξ _i son las coordenadas de la fibra en el fibrado cotangente inducidas por los diferenciales de coordenadas dx ⁱ . Aunque esto se define utilizando un sistema de coordenadas particular, la ley de transformación que relaciona ξ _i y x ⁱ asegura que σ _P sea una función bien definida en el fibrado cotangente.

La función σ _P es homogénea de grado k en la variable ξ . Los ceros de σ _P , alejados de la sección cero de T ^∗ X , son las características de P . Una hipersuperficie de X definida por la ecuación F ( x ) =  c se denomina hipersuperficie característica en x si

${\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x))=0.}$

Invariablemente, una hipersuperficie característica es una hipersuperficie cuyo haz conormal está en el conjunto característico de P .

Análisis cualitativo de las características

Las características también son una herramienta poderosa para obtener información cualitativa sobre una PDE.

Se pueden utilizar los cruces de las características para encontrar ondas de choque para el flujo potencial en un fluido compresible. Intuitivamente, podemos pensar que cada línea característica implica una solución a lo largo de sí misma. Por lo tanto, cuando dos características se cruzan, la función se vuelve multivaluada, lo que resulta en una solución no física. Físicamente, esta contradicción se elimina mediante la formación de una onda de choque, una discontinuidad tangencial o una discontinuidad débil y puede resultar en un flujo no potencial, violando los supuestos iniciales. ^[5] ${\displaystyle u}$

Las características pueden no cubrir parte del dominio de la ecuación diferencial parcial. Esto se denomina rarefacción e indica que la solución normalmente existe solo en un sentido débil, es decir, de ecuación integral .

La dirección de las líneas características indica el flujo de valores a través de la solución, como demuestra el ejemplo anterior. Este tipo de conocimiento es útil cuando se resuelven ecuaciones diferenciales parciales numéricamente, ya que puede indicar qué esquema de diferencias finitas es mejor para el problema.

Véase también

• Método de características cuánticas

Notas

1. Zachmanoglou, EC; Thoe, Dale W. (1976), "Ecuaciones diferenciales parciales lineales: características, clasificación y formas canónicas", Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales con aplicaciones , Baltimore: Williams & Wilkins, págs. 112-152, ISBN 0-486-65251-3
2. John, Fritz (1991), Ecuaciones diferenciales parciales (4.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
3. Delgado, Manuel (1997), "El método de Lagrange-Charpit", SIAM Review , 39 (2): 298–304, Bibcode :1997SIAMR..39..298D, doi :10.1137/S0036144595293534, JSTOR  2133111
4. "Ecuaciones diferenciales parciales (EDP) — Documentación del lenguaje Wolfram".
5. Debnath, Lokenath (2005), "Leyes de conservación y ondas de choque", Ecuaciones diferenciales parciales no lineales para científicos e ingenieros (2.ª ed.), Boston: Birkhäuser, págs. 251-276, ISBN 0-8176-4323-0

Referencias

• Courant, Richard ; Hilbert, David (1962), Métodos de física matemática, Volumen II , Wiley-Interscience
• Evans, Lawrence C. (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
• Polyanin, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002), Manual de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden , Londres: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
• Polyanin, AD (2002), Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
• Sarra, Scott (2003), "El método de características con aplicaciones a las leyes de conservación", Revista de matemáticas en línea y sus aplicaciones.
• Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Mecánica de fluidos (9.ª edición revisada internacional), McGraw-Hill Higher Education

Enlaces externos

• Tutorial del profesor Scott Sarra sobre el método de las características
• Tutorial del profesor Alan Hood sobre el método de las características