Promedio de Favre

El promedio de Favre es el método de promedio ponderado por densidad, utilizado en flujos turbulentos compresibles o de densidad variable, en lugar del promedio de Reynolds . El método fue introducido formalmente por el científico francés AJ Favre en 1965, ^{[1] [2]} aunque Osborne Reynolds también había introducido el promedio ponderado por densidad en 1895. ^[3] El promedio da como resultado una forma simplista para los términos convectivos no lineales de las ecuaciones de Navier-Stokes , a expensas de complicar los términos de difusión.

Variables promediadas de Favre

El promedio de Favre se realiza para todas las variables dinámicas excepto la presión. Para los componentes de velocidad, el promedio de Favre se define como ${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle {\widetilde {u_{i}}}={\frac {\overline {\rho u_{i}}}{\overline {\rho }}}}$

donde la barra superior indica el promedio típico de Reynolds, la tilde denota el promedio de Favre y es el campo de densidad. La descomposición de Favre de los componentes de velocidad se escribe entonces como ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle u_{i}={\widetilde {u_{i}}}+u_{i}''}$

donde es la parte fluctuante en el promedio de Favre, que satisface la condición , es decir, . La descomposición normal de Reynolds está dada por , donde es la parte fluctuante en el promedio de Reynolds, que satisface la condición . Las variables promediadas por Favre son más difíciles de medir experimentalmente que las promediadas por Reynolds, sin embargo, las dos variables pueden relacionarse de manera exacta si se conocen las correlaciones entre la densidad y la cantidad fluctuante; esto es así porque, podemos escribir ${\displaystyle u_{i}''}$ ${\displaystyle {\widetilde {u_{i}''}}=0}$ ${\displaystyle {\overline {\rho u_{i}''}}=0}$ ${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}'}$ ${\displaystyle u_{i}'}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}'}}=0}$

${\displaystyle {\widetilde {u_{i}}}={\overline {u_{i}}}\left(1+{\frac {\overline {\rho 'u_{i}'}}{{\overline {\rho }}\,{\overline {u_{i}}}}}\right).}$

La ventaja de las variables promediadas por Favre se ve claramente al tomar el promedio normal del término que aparece en el término convectivo de las ecuaciones de Navier-Stokes escrito en su forma conservada. Esto se da por ^{[4] [5]} ${\displaystyle \rho u_{i}u_{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\rho u_{i}u_{j}}}&={\overline {\rho }}\,{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}+{\overline {\rho }}{\overline {u_{i}'u_{j}'}}+{\overline {u_{i}}}{\overline {\rho 'u_{j}'}}+{\overline {u_{j}}}{\overline {\rho 'u_{i}'}}+{\overline {\rho 'u_{i}'u_{j}'}}\\&={\overline {\rho }}{\widetilde {u_{i}}}{\widetilde {u_{j}}}+{\overline {\rho u_{i}''u_{j}''}}.\end{aligned}}}$

Como podemos ver, hay cinco términos en el promedio cuando se expresa en términos de variables promediadas de Reynolds, mientras que solo tenemos dos términos cuando se expresa en términos de variables promediadas de Favre.

Referencias

1. Favre, AJ (1965). Las ecuaciones de gases turbulentos compresibles. Universidad de Aix-Marseiller (Francia) Inst. De Mecanique Statistique De La Turbulence.
2. Favre, AJ (1969). Ecuaciones estadísticas de gases turbulentos, en Problemas de hidrodinámica y mecánica del medio continuo, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia, PA, 231-266.
3. Reynolds, O. (1895). IV. Sobre la teoría dinámica de fluidos viscosos incompresibles y la determinación del criterio. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. (a.), (186), 123-164.
4. Libby PA, Williams, FA, (1980), Flujos de reacción turbulentos, págs. 14-16.
5. Bilger, R. (1975). Una nota sobre el promedio de Favre en flujos de densidad variable. Combustion Science and Technology, 11(5-6), 215-217.