Enlace cognado

Enlaces de diferentes dimensiones con el mismo movimiento de salida

Muestra de nueve enlaces cognados de curva acopladora diferentes.

Fila superior: enlaces cognados de cuatro barras.
Fila intermedia: enlaces cognados de cinco barras con engranajes, derivados de la fila superior.
Fila inferior: enlaces cognados de seis barras estrechamente relacionados, derivados de la fila intermedia.

En cinemática , los enlaces cognados son enlaces que aseguran la misma geometría de curva de acoplador o relación de entrada-salida, mientras que son dimensionalmente diferentes. En el caso de los acopladores de enlace cognados de cuatro barras , el Teorema de Roberts-Chebyshev, después de Samuel Roberts y Pafnuty Chebyshev , ^[1] establece que cada curva de acoplador puede generarse por tres enlaces de cuatro barras diferentes. Estos enlaces de cuatro barras pueden construirse utilizando triángulos y paralelogramos similares, y el diagrama de Cayley (llamado así por Arthur Cayley ).

Los mecanismos sobrerrestringidos se pueden obtener conectando dos o más enlaces cognados entre sí.

Teorema de Roberts-Chebyshev

El teorema establece que, para una curva de acoplador dada producida por un vínculo de cuatro barras con cuatro juntas giratorias (de bisagra), existen tres vínculos de cuatro barras, tres vínculos de cinco barras con engranajes y más vínculos de seis barras que generarán la misma trayectoria.

Para una curva de acoplador producida por un vínculo de cuatro barras con cuatro juntas giratorias y una junta prismática (deslizante), solo existen dos vínculos de cuatro barras, ya que el tercero estaría compuesto por dos deslizadores, lo que lo convierte en un vínculo de cuatro barras con dos grados de libertad.

Construcción de cognados de acopladores de cuatro barras

Diagrama de Cayley

Del triángulo original, Δ A ₁ DB ₁ :

1. Dibuje un diagrama de Cayley.
2. Usando paralelogramos, encuentra A ₂ y B ₃ ▱O _A A ₁ DA ₂ y ▱O _B B ₁ DB ₃ .
3. Utilizando triángulos semejantes , encuentre C ₂ y C ₃ Δ A ₂ C ₂ D y Δ DC ₃ B ₃ .
4. Usando un paralelogramo, encuentre O _C ▱O _C C ₂ DC ₃ .
5. Verifique triángulos similares ΔO _A O _C O _B .
6. Separar el cognado izquierdo y el derecho.
7. Coloque las dimensiones en el diagrama de Cayley.

Relaciones dimensionales

Dimensiones del enlace.

Las longitudes de los cuatro miembros se pueden hallar utilizando la ley de los senos . Tanto K _L como K _R se hallan de la siguiente manera.

${\displaystyle K_{L}={\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}\qquad K_{R}={\frac {\sin(\gamma )}{\sin(\beta )}}}$

Conclusiones

• Si y solo si el original es una cadena de clase I , ambos cognados de 4 barras serán cadenas de clase I. ${\displaystyle (\ell +s)<(p+q)}$
• Si el original es un eslabón de arrastre ( doble cigüeñal ), ambos cognados serán eslabones de arrastre.
• Si el original es un crank-rocker , un cognado será un crank-rocker, y el segundo será un double-rocker.
• Si el original es un doble balancín, los cognados serán crank-rockers.

Construcción de cognados de cinco barras con engranajes

Animación que muestra la construcción de enlaces cognados de cinco barras con engranajes a partir de un cognado inicial de cuatro barras.

Un enlace de cinco barras tiene dos grados de libertad y, por lo tanto, no existe un enlace de cinco barras que sea capaz de actuar como cognado. ^{[Nota 1]} Sin embargo, es posible generar un cognado de cinco barras utilizando engranajes.

1. Seleccione el enlace de cuatro barras de su elección.
2. Construya dos paralelogramos a partir del enlace acoplador central y los enlaces conectados a tierra.
3. En cada paralelogramo, encuentre los lados opuestos al eslabón de conexión. Aplique un tren de engranajes 1:1 entre ellos.
4. Cognados separados.

El uso del tren de engranajes 1:1 se debe al comportamiento de los eslabones de paralelogramo. Los "lados" opuestos de los eslabones de paralelogramo comparten la misma función de movimiento rotacional. Debido a que ambos paralelogramos se construyeron a partir del eslabón acoplador central, los nuevos eslabones conectados al suelo comparten funciones de movimiento rotacional idénticas, lo que permite utilizar un tren de engranajes 1:1 para conectarlos entre sí.

Construcción de cognados de acopladores de seis barras

Alternativa a los cognados de cinco barras con engranajes

El mecanismo de cinco barras con engranajes utiliza un tren de engranajes 1:1 para garantizar que dos eslabones tengan la misma función de movimiento rotatorio. Sin embargo, una alternativa al uso de un tren de engranajes para lograr una rotación 1:1 es conectarlos entre sí mediante un mecanismo de paralelogramo, agregando un eslabón adicional.

Emparejamiento de cognados previamente derivados

Un comportamiento importante con los vínculos de cuatro barras es que una vez que se definen las posiciones de dos vínculos, se pueden definir los otros dos vínculos en el vínculo de cuatro barras.

Una característica de los enlaces cognados es que a menudo comparten al menos dos enlaces en configuración idéntica. Estos enlaces suelen estar orientados a 180 grados entre sí, por lo que al emparejarlos, estos enlaces pueden fusionarse. Esto crea un enlace de 4 barras con dos enlaces adicionales, ambos definidos por el enlace de cuatro barras original. El antiguo enlace de tierra del enlace de 4 barras que se fusiona se convierte en un enlace rectilíneo que se desplaza siguiendo la misma curva de acoplamiento.

Cada uno de estos enlaces cognados emparejados de seis barras también se puede convertir en otro enlace cognado invirtiendo el enlace y cambiando los roles del enlace rectilíneo y el enlace de tierra.

Construcción de cognados acopladores con más enlaces

Aplicando el método de emparejamientos de seis barras, los enlaces no necesariamente tienen que superponerse, sino que sólo necesitan cumplir el criterio de que:

• Hay un par de dos enlaces en configuración idéntica.
• El antiguo enlace de tierra de uno de los acoplamientos está unido directamente al punto que produce la curva del acoplador.

En lugar de superponer los enlaces pareados, se pueden unir de forma que formen un paralelogramo, lo que da como resultado enlaces cognados de ocho barras. También son posibles los enlaces cognados de triplete y otras extensiones, lo que permite que el número de enlaces de enlaces cognados aumente teóricamente de forma indefinida.

Cognados de funciones

Animación que muestra la construcción de una función cognada.

Los enlaces de función cognada son enlaces que comparten las mismas funciones de movimiento para sus enlaces de entrada y salida. Esto se realiza mediante un sistema de enlace Watt II de seis barras.

1. Divida el enlace de seis barras en dos cuadriláteros (mostrados como y ). ${\displaystyle \square X_{1}ABC}$ ${\displaystyle \square X_{2}CDE}$
2. Trasladar la junta de tierra a una nueva ubicación . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$
3. Con la nueva unión esmerilada , forme dos cuadriláteros similares (mostrados como y ). ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle \square X_{1}A'B'C'}$ ${\displaystyle \square X_{2}C'D'E'}$
4. Reformar el enlace compartido . ${\displaystyle C'B'D'}$
5. Cognados separados.

Los cuadriláteros similares tendrán vínculos que compartan la misma función de movimiento. Dado que un vínculo es compartido entre los dos cuadriláteros, siempre que los nuevos cuadriláteros sean similares al original, ambos compartirán un vínculo con la misma función de movimiento.

Si los nuevos cuadriláteros no comparten la misma unión terrestre (como se muestra con la unión C'), aún pueden conectarse entre sí mediante un enlace de paralelogramo, formando una función cognada de 8 barras.

Véase también

• Diagrama de Cayley - Arthur Cayley
• Enlace de cuatro barras
• Par cinemático
• Enlace (mecánico)
• Pafnuty Chebyshev - Teorema de Roberts-Chebyshev
• Samuel Roberts - Teorema de Roberts-Chebyshev

Notas

1. Hay configuraciones sobrerrestringidas específicas que tienen un grado de libertad de 0, sin embargo no son útiles en la construcción de enlaces cognados.

Referencias

1. Roberts y Chebyshev (Springer) Consultado el 12 de octubre de 2012

• Uicker, John J.; Pennock, Gordon R.; Shigley, Joseph E. (2003). Teoría de máquinas y mecanismos . Oxford University Press. ISBN 0-19-515598-X.
• Samuel Roberts (1875) "Sobre el movimiento de tres barras en el espacio plano", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , vol 7.
• Hartenberg, RS y J. Denavit (1964) Síntesis cinemática de vínculos, pág. 169, Nueva York: McGraw-Hill, enlace web desde Cornell University .

Lectura adicional

• Simionescu, PA; Smith, MR (2001). "Cognados de funciones de cuatro y seis barras y mecanismos sobrerrestringidos". Mecanismo y teoría de máquinas . 36 (8): 913–924. doi :10.1016/S0094-114X(01)00031-3.
• Simionescu, PA; Smith, MR (2000). "Aplicaciones de los cognados del generador de funciones de Watt II". Mecanismo y teoría de máquinas . 35 (11): 1535–1549. doi :10.1016/S0094-114X(00)00011-2.
• Soni, AH (1970). "Mecanismos acopladores cognados de ciertas formas de paralelogramo del mecanismo de seis enlaces de Watt". Journal of Mechanisms . 5 (2): 203–215. doi :10.1016/0022-2569(70)90023-6.