Modelo de Maxwell con convección superior

Clase de ecuaciones constitutivas para fluidos viscoelásticos

El modelo de Maxwell de convección superior ( UCM ) es una generalización del material de Maxwell para el caso de grandes deformaciones utilizando la derivada temporal de convección superior . El modelo fue propuesto por James G. Oldroyd . El concepto recibe su nombre de James Clerk Maxwell . Es la ecuación constitutiva independiente del observador más simple para la viscoelasticidad y, además, es capaz de reproducir las primeras tensiones normales. Por lo tanto, constituye uno de los modelos más fundamentales para la reología .

El modelo se puede escribir como:

${\displaystyle \mathbf {T} +\lambda {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}=2\eta _{0}\mathbf {D} }$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {T} }$es el tensor de tensión ;
• ${\displaystyle \lambda }$es el tiempo de relajación;
• ${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}}$es la derivada temporal de convección superior del tensor de tensión:

${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {T} +\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {T} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {T} -\mathbf {T} \cdot (\nabla \mathbf {v} )}$

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es la velocidad del fluido y el gradiente de un vector sigue la convención . ${\displaystyle (\nabla {\mathbf {v} })_{ij}=\partial _{i}v_{j}}$
• ${\displaystyle \eta _{0}}$es la viscosidad del material a un esfuerzo cortante simple constante ;
• ${\displaystyle \mathbf {D} }$es el tensor de tasa de deformación .

El modelo se puede derivar ya sea aplicando el concepto de invariancia del observador al material de Maxwell o mediante dos modelos mesoscópicos diferentes, a saber, Hookean Dumbells ^[1] o Temporary Networks ^[2] . Aunque ambos modelos microscópicos conducen a la ecuación de evolución superior para el estrés, trabajos recientes señalaron las diferencias al tener en cuenta también las fluctuaciones del estrés. ^[3]

Caso de la cizalladura constante

Para este caso, solo dos componentes de la tensión cortante pasaron a ser distintos de cero:

${\displaystyle T_{12}=\eta _{0}{\dot {\gamma }}\,}$

y

${\displaystyle T_{11}=2\eta _{0}\lambda {\dot {\gamma }}^{2}\,}$

¿Dónde está la velocidad de corte? ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

Por lo tanto, el modelo de Maxwell de convección superior predice para el esfuerzo cortante simple que el esfuerzo cortante es proporcional a la velocidad de corte y la primera diferencia de esfuerzos normales ( ) es proporcional al cuadrado de la velocidad de corte, la segunda diferencia de esfuerzos normales ( ) es siempre cero. En otras palabras, el UCM predice la aparición de la primera diferencia de esfuerzos normales pero no predice el comportamiento no newtoniano de la viscosidad de corte ni la segunda diferencia de los esfuerzos normales. ${\displaystyle T_{11}-T_{22}}$ ${\displaystyle T_{22}-T_{33}}$

Generalmente, el comportamiento cuadrático de la primera diferencia de tensiones normales y la ausencia de una segunda diferencia de tensiones normales es un comportamiento realista de las masas fundidas de polímeros a velocidades de corte moderadas, pero la viscosidad constante no es realista y limita la utilidad del modelo.

Caso de puesta en marcha de cizallamiento constante

Para este caso, solo dos componentes de la tensión cortante pasaron a ser distintos de cero:

${\displaystyle T_{12}=\eta _{0}{\dot {\gamma }}\left(1-\exp \left(-{\frac {t}{\lambda }}\right)\right)}$

y

${\displaystyle T_{11}=2\eta _{0}\lambda {\dot {\gamma }}^{2}\left(1-\exp \left(-{\frac {t}{\lambda }}\right)\left(1+{\frac {t}{\lambda }}\right)\right)}$

Las ecuaciones anteriores describen tensiones que aumentan gradualmente desde cero hasta los valores de estado estable. La ecuación solo es aplicable cuando el perfil de velocidad en el flujo de cizallamiento está completamente desarrollado. En ese caso, la velocidad de cizallamiento es constante a lo largo de la altura del canal. Si se debe calcular la distribución de velocidad cero desde el inicio, se debe resolver el conjunto completo de ecuaciones diferenciales parciales.

Caso de la extensión uniaxial o compresión uniaxial en estado estacionario

Para este caso la UCM predice las tensiones normales calculadas mediante la siguiente ecuación: ${\displaystyle \sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\eta _{0}{\dot {\epsilon }}}{1-2\lambda {\dot {\epsilon }}}}+{\frac {\eta _{0}{\dot {\epsilon }}}{1+\lambda {\dot {\epsilon }}}}}$

¿Dónde está la tasa de elongación? ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$

La ecuación predice que la viscosidad de elongación se aproxima a (la misma que para los fluidos newtonianos ) para el caso de una baja tasa de elongación ( ) con un rápido espesamiento por deformación con la viscosidad en estado estacionario acercándose al infinito a cierta tasa de elongación ( ) y a cierta tasa de compresión ( ). Este comportamiento parece ser realista. ${\displaystyle 3\eta _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}\ll {\frac {1}{\lambda }}}$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{\infty }={\frac {1}{2\lambda }}}$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{-\infty }=-{\frac {1}{\lambda }}}$

Caso de pequeña deformación

Para el caso de pequeña deformación, las no linealidades introducidas por la derivada de convección superior desaparecen y el modelo se convierte en un modelo ordinario de material de Maxwell .

Referencias

1. Öttinger, HC (1996). Procesos estocásticos en fluidos poliméricos: herramientas y ejemplos para desarrollar algoritmos de simulación (1.ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-58290-5. ISBN . 978-3-540-58353-0.
2. Larson, Ronald G. (28 de enero de 1999). La estructura y reología de fluidos complejos (Temas de ingeniería química): Larson, Ronald G.: 9780195121971: Amazon.com: Libros . Oup USA. ISBN 019512197X.
3. Winters, A.; Öttinger, HC; Vermant, J. (2024). "Análisis comparativo de fluctuaciones en la tensión viscoelástica: una comparación de los modelos de red temporal y de mancuernas". Journal of Chemical Physics . 161 : 014901. arXiv : 2404.19743 . doi :10.1063/5.0213660.

• Macosko, Christopher (1993). Reología. Principios, mediciones y aplicaciones . Editorial VCH. ISBN 1-56081-579-5.