Teorema de incrustación universal

El teorema de incrustación universal , o teorema de incrustación universal de Krasner-Kaloujnine , es un teorema de la disciplina matemática de la teoría de grupos publicado por primera vez en 1951 por Marc Krasner y Lev Kaluznin . ^[1] El teorema establece que cualquier extensión de grupo de un grupo H por un grupo A es isomorfo a un subgrupo del producto de corona regular A  Wr  H . El teorema recibe su nombre por el hecho de que se dice que el grupo A  Wr  H es universal con respecto a todas las extensiones de H por A .

Declaración

Sean H y A grupos, sea K  =  A ^H el conjunto de todas las funciones desde H hasta A , y consideremos la acción de H sobre sí misma por multiplicación derecha. Esta acción se extiende naturalmente a una acción de H sobre K definida por donde y g y h están ambos en H . Este es un automorfismo de K , por lo que podemos definir el producto semidirecto K  ⋊  H llamado producto corona regular , y denotado A  Wr  H o ​​El grupo K  =  A ^H (que es isomorfo a ) se llama grupo base del producto corona. ${\displaystyle \phi (g).h=\phi (gh^{-1}),}$ ${\displaystyle \phi \in K,}$ ${\displaystyle A\wr H.}$ ${\displaystyle \{(f_{x},1)\in A\wr H:x\in K\}}$

El teorema de incrustación universal de Krasner-Kaloujnine establece que si G tiene un subgrupo normal A y H  =  G / A , entonces existe un homomorfismo inyectivo de grupos tal que A se mapea sobreyectivamente en ^[2] Esto es equivalente a que el producto de corona A  Wr  H tenga un subgrupo isomorfo a G , donde G es cualquier extensión de H por A . ${\displaystyle \theta :G\to A\wr H}$ ${\displaystyle {\text{im}}(\theta )\cap K.}$

Prueba

Esta prueba proviene de Dixon-Mortimer. ^[3]

Defina un homomorfismo cuyo núcleo sea A . Elija un conjunto de representantes de clases laterales (derechas) de A en G , donde Entonces para todo x en G , Para cada x en G , definimos una función f _x :  H  → A tal que Entonces la incrustación está dada por ${\displaystyle \psi :G\to H}$ ${\displaystyle T=\{t_{u}:u\in H\}}$ ${\displaystyle \psi (t_{u})=u.}$ ${\displaystyle t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}\in \ker \psi =A.}$ ${\displaystyle f_{x}(u)=t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (x)=(f_{x},\psi (x))\in A\wr H.}$

Ahora demostramos que esto es un homomorfismo. Si x e y están en G , entonces Ahora bien, para todo u en H , ${\displaystyle \theta (x)\theta (y)=(f_{x}(f_{y}.\psi (x)^{-1}),\psi (xy)).}$ ${\displaystyle f_{y}(u).\psi (x)^{-1}=f_{y}(u\psi (x)),}$

${\displaystyle f_{x}(u)(f_{y}(u).\psi (x))=t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}t_{u\psi (x)}yt_{u\psi (x)\psi (y)}^{-1}=t_{u}xyt_{u\psi (xy)}^{-1},}$

entonces f _x  f _y  =  f _xy . Por lo tanto, es un homomorfismo como se requiere. ${\displaystyle \theta }$

El homomorfismo es inyectivo. Si entonces tanto f _x ( u ) =  f _y ( u ) (para todo u ) como Entonces pero podemos cancelar t _u y desde ambos lados, entonces x  =  y , por lo tanto es inyectivo. Finalmente, precisamente cuando en otras palabras cuando (como ). ${\displaystyle \theta (x)=\theta (y),}$ ${\displaystyle \psi (x)=\psi (y).}$ ${\displaystyle t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}=t_{u}yt_{u\psi (y)}^{-1},}$ ${\displaystyle t_{u\psi (x)}^{-1}=t_{u\psi (y)}^{-1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (x)\in K}$ ${\displaystyle \psi (x)=1,}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle A=\ker \psi }$

Generalizaciones y resultados relacionados

• El teorema de Krohn-Rhodes es un enunciado similar al teorema de incrustación universal, pero para semigrupos . Un semigrupo S es divisor de un semigrupo T si es la imagen de un subsemigrupo de T bajo un homomorfismo. El teorema establece que todo semigrupo finito S es divisor de un producto finito en corona alternada de grupos simples finitos (cada uno de los cuales es divisor de S ) y semigrupos aperiódicos finitos .
• Existe una versión alternativa del teorema que requiere únicamente un grupo G y un subgrupo A (no necesariamente normal). ^[4] En este caso, G es isomorfo a un subgrupo del producto de corona regular A  Wr ( G /Core( A )).

Referencias

1. Kaloujnine y Krasner (1951a).
2. Dixon y Mortimer (1996, pág. 47).
3. Dixon y Mortimer (1996, págs. 47-48).
4. Kaloujnine y Krasner (1951b).

Bibliografía

• Dixon, John; Mortimer, Brian (1996). Grupos de permutación . Springer. ISBN 978-0387945996.
• Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951a). "Producto completo de grupos de permutaciones y el problema de extensión de grupos II". Acta de ciencia. Matemáticas. Szeged . 14 : 39–66.
• Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951b). "Producto completo de grupos de permutaciones y el problema de extensión de grupos III". Acta de ciencia. Matemáticas. Szeged . 14 : 69–82.
• Praeger, Cheryl; Schneider, Csaba (2018). Grupos de permutación y descomposiciones cartesianas. Cambridge University Press. ISBN 978-0521675062.