Inverso aditivo

Número que, al sumarse al número original, da como resultado la identidad aditiva

En matemáticas, el inverso aditivo de un elemento x , denotado -x , ^[1] es el elemento que cuando se suma a x , produce la identidad aditiva , 0. ^[2] En los casos más familiares, este es el número 0 , pero también puede referirse a un elemento cero más generalizado .

En matemáticas elementales , el inverso aditivo se suele denominar número opuesto . ^{[3] [4]} El concepto está estrechamente relacionado con la resta ^[5] y es importante para resolver ecuaciones algebraicas . ^[6] No todos los conjuntos en los que se define la adición tienen un inverso aditivo, como los números naturales . ^[7]

Ejemplos comunes

Cuando se trabaja con números enteros , números racionales , números reales y números complejos , el inverso aditivo de cualquier número se puede encontrar multiplicándolo por −1 . ^[6]

Estos números complejos, dos de los ocho valores de ⁸ √ 1 , son mutuamente opuestos.

El concepto también puede extenderse a expresiones algebraicas, que a menudo se utilizan al equilibrar ecuaciones .

Relación con la resta

El inverso aditivo está estrechamente relacionado con la resta , que puede verse como una adición utilizando el inverso:

a − b  =  a + (− b ) .

Por el contrario, el inverso aditivo puede considerarse como una resta de cero:

−a =  0 −a .

Esta conexión llevó a que el signo menos se utilizara tanto para magnitudes opuestas como para restas desde el siglo XVII. Si bien esta notación es la estándar en la actualidad, en su momento se encontró con oposición, ya que algunos matemáticos pensaban que podía ser poco clara y dar lugar a errores. ^[8]

Definición formal

Dada una estructura algebraica definida bajo la adición con una identidad aditiva , un elemento tiene un inverso aditivo si y sólo si , , y . ^[7] ${\displaystyle (S,+)}$ ${\displaystyle e\in S}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle x+y=e}$ ${\displaystyle y+x=e}$

La suma se suele utilizar solo para referirse a una operación conmutativa , pero no es necesariamente asociativa . Cuando es asociativa, por lo que , las inversas izquierda y derecha, si existen, coincidirán, y la inversa aditiva será única. En casos no asociativos, las inversas izquierda y derecha pueden no coincidir, y en estos casos, no se considera que exista la inversa. ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

La definición requiere de clausura , es decir, que el elemento aditivo se encuentre en . Por eso, a pesar de que la adición está definida sobre los números naturales, no tiene un inverso aditivo para sus miembros. Los inversos asociados serían los números negativos , por lo que los números enteros sí tienen un inverso aditivo. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$

Otros ejemplos

• En un espacio vectorial , el inverso aditivo − v (a menudo llamado vector opuesto de v ) tiene la misma magnitud que v pero la dirección opuesta. ^[9]
• En aritmética modular , el inverso aditivo modular de x es el número a tal que a + x ≡ 0 (mod n ) y siempre existe. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 8, ya que 3 + 8 ≡ 0 (mod 11) . ^[10]
• En un anillo booleano , que tiene elementos, la adición se define a menudo como la diferencia simétrica . Por lo tanto , , , y . Nuestra identidad aditiva es 0, y ambos elementos son su propio inverso aditivo, ya que y . ^[11] ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 0+0=0}$ ${\displaystyle 0+1=1}$ ${\displaystyle 1+0=1}$ ${\displaystyle 1+1=0}$ ${\displaystyle 0+0=0}$ ${\displaystyle 1+1=0}$

Véase también

• Valor absoluto (relacionado a través de la identidad |− x | = | x | ).
• Monoide
• Función inversa
• Involución (matemáticas)
• Inverso multiplicativo
• Reflexión (matemáticas)
• Simetría de reflexión
• Semigrupo

Notas y referencias

1. Galliano, Joseph A. (2017). Álgebra abstracta contemporánea (9ª ed.). Boston, MA: Aprendizaje Cengage. pag. 52.ISBN​ 978-1-305-65796-0.
2. Fraleigh, John B. (2014). Un primer curso de álgebra abstracta (7ª ed.). Harlow: Pearson. págs. 169-170. ISBN 978-1-292-02496-7.
3. Mazur, Izabela (26 de marzo de 2021). «2.5 Propiedades de los números reales: Álgebra introductoria» . Consultado el 4 de agosto de 2024 .
4. "Estándares::Comprender p + q como el número ubicado a una distancia |q| de p, en dirección positiva o negativa dependiendo de si q es positivo o negativo. Demostrar que un número y su opuesto tienen una suma de 0 (son inversos aditivos). Interpretar sumas de números racionales describiendo contextos del mundo real". learninglab.si.edu . Consultado el 4 de agosto de 2024 .
5. Brown, Christopher. "SI242: divisibilidad". www.usna.edu . Consultado el 4 de agosto de 2024 .
6. "2.2.5: Propiedades de igualdad con decimales". K12 LibreTexts . 2020-07-21 . Consultado el 2024-08-04 .
7. Fraleigh, John B. (2014). Un primer curso de álgebra abstracta (7ª ed.). Harlow: Pearson. págs. 37–39. ISBN 978-1-292-02496-7.
8. Cajori, Florian (2011). Una historia de las notaciones matemáticas: dos volúmenes en uno . Nueva York: Cosimo Classics. págs. 246-247. ISBN 978-1-61640-571-7.
9. Axler, Sheldon (2024), Axler, Sheldon (ed.), "Espacios vectoriales", Álgebra lineal bien hecha , Textos de pregrado en matemáticas, Cham: Springer International Publishing, págs. 1–26, doi : 10.1007/978-3-031-41026-0_1 , ISBN 978-3-031-41026-0
10. Gupta, Prakash C. (2015). Criptografía y seguridad de redes . Edición de economía oriental. Delhi: PHI Learning Private Limited. pág. 15. ISBN 978-81-203-5045-8.
11. Martin, Urusula; Nipkow, Tobias (1 de marzo de 1989). "Unificación booleana: la historia hasta ahora". Journal of Symbolic Computation . Unificación: Parte 1. 7 (3): 275–293. doi :10.1016/S0747-7171(89)80013-6. ISSN  0747-7171.