Energía cinética

Energía de un cuerpo físico en movimiento

Émilie du Châtelet (1706-1749) fue la primera en publicar la relación de la energía cinética . Esto significa que un objeto con el doble de velocidad golpea cuatro veces más fuerte. (Retrato de Maurice Quentin de La Tour .) ${\displaystyle E_{\text{kin}}\propto mv^{2}}$

En física , la energía cinética de un objeto es la forma de energía que posee debido a su movimiento . ^[1]

En la mecánica clásica , la energía cinética de un objeto no giratorio de masa m que viaja a una velocidad v es . ^[2] ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

La energía cinética de un objeto es igual al trabajo , fuerza ( F ) multiplicado por el desplazamiento ( s ), necesario para alcanzar su velocidad indicada . Al haber ganado esta energía durante su aceleración , la masa mantiene esta energía cinética a menos que su velocidad cambie. El objeto realiza la misma cantidad de trabajo cuando desacelera desde su velocidad actual hasta un estado de reposo . ^[2]

La unidad SI de energía cinética es el julio , mientras que la unidad inglesa de energía cinética es el pie-libra .

En la mecánica relativista , es una buena aproximación de la energía cinética sólo cuando v es mucho menor que la velocidad de la luz . ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Historia y etimología

El adjetivo cinético tiene su origen en la palabra griega κίνησις kinesis , que significa «movimiento». La dicotomía entre energía cinética y energía potencial se remonta a los conceptos de actualidad y potencialidad de Aristóteles . ^[3]

El principio de la mecánica clásica de que E ∝ mv ² fue desarrollado por primera vez por Gottfried Leibniz y Johann Bernoulli , quienes describieron la energía cinética como la fuerza viva , vis viva . ^{[4] : 227} Willem's Gravesande de los Países Bajos proporcionó evidencia experimental de esta relación en 1722. Al dejar caer pesos desde diferentes alturas en un bloque de arcilla, Willem's Gravesande determinó que su profundidad de penetración era proporcional al cuadrado de su velocidad de impacto. Émilie du Châtelet reconoció las implicaciones del experimento y publicó una explicación. ^[5]

Los términos energía cinética y trabajo en sus significados científicos actuales se remontan a mediados del siglo XIX. Las primeras comprensiones de estas ideas se pueden atribuir a Gaspard-Gustave Coriolis , quien en 1829 publicó el artículo titulado Du Calcul de l'Effet des Machines , en el que se esbozaban las matemáticas de la energía cinética. A William Thomson , más tarde Lord Kelvin, se le atribuye el mérito de acuñar el término "energía cinética" entre 1849 y 1851. ^{[6] [7]} Rankine , que había introducido el término "energía potencial" en 1853 y la frase "energía actual" para complementarlo, ^[8] cita posteriormente a William Thomson y Peter Tait como sustitutos de la palabra "cinética" por "actual". ^[9]

Descripción general

La energía se presenta en muchas formas, entre ellas la energía química , la energía térmica , la radiación electromagnética , la energía gravitacional , la energía eléctrica , la energía elástica , la energía nuclear y la energía en reposo . Estas pueden clasificarse en dos clases principales: energía potencial y energía cinética. La energía cinética es la energía de movimiento de un objeto. La energía cinética puede transferirse entre objetos y transformarse en otros tipos de energía. ^[10]

La energía cinética se puede entender mejor con ejemplos que demuestran cómo se transforma en otras formas de energía y cómo se transforma a partir de ellas. Por ejemplo, un ciclista utiliza la energía química que le proporcionan los alimentos para acelerar una bicicleta hasta una velocidad determinada. En una superficie plana, esta velocidad se puede mantener sin más trabajo, excepto para superar la resistencia del aire y la fricción . La energía química se ha convertido en energía cinética, la energía del movimiento, pero el proceso no es completamente eficiente y produce calor dentro del ciclista.

La energía cinética del ciclista en movimiento y de la bicicleta se puede convertir en otras formas. Por ejemplo, el ciclista podría encontrarse con una colina lo suficientemente alta como para subir por inercia, de modo que la bicicleta se detenga por completo en la cima. La energía cinética ahora se ha convertido en gran parte en energía potencial gravitatoria que se puede liberar al rodar libremente por el otro lado de la colina. Dado que la bicicleta pierde parte de su energía por fricción, nunca recupera toda su velocidad sin pedalear más. La energía no se destruye; solo se ha convertido en otra forma por fricción. Alternativamente, el ciclista podría conectar un dinamo a una de las ruedas y generar algo de energía eléctrica en el descenso. La bicicleta se desplazaría más lentamente en la parte inferior de la colina que sin el generador porque parte de la energía se ha desviado en energía eléctrica. Otra posibilidad sería que el ciclista aplicara los frenos, en cuyo caso la energía cinética se disiparía a través de la fricción en forma de calor .

Como cualquier magnitud física que es función de la velocidad, la energía cinética de un objeto depende de la relación entre el objeto y el marco de referencia del observador . Por lo tanto, la energía cinética de un objeto no es invariante .

Las naves espaciales utilizan energía química para despegar y obtienen una energía cinética considerable para alcanzar la velocidad orbital . En una órbita completamente circular, esta energía cinética permanece constante porque casi no hay fricción en el espacio cercano a la Tierra. Sin embargo, se hace evidente en el reingreso cuando parte de la energía cinética se convierte en calor. Si la órbita es elíptica o hiperbólica , entonces a lo largo de la órbita se intercambian energía cinética y potencial ; la energía cinética es máxima y la energía potencial mínima en el punto de aproximación más cercano a la Tierra u otro cuerpo masivo, mientras que la energía potencial es máxima y la energía cinética mínima en el punto de distancia máxima. Sin embargo, sin tener en cuenta la pérdida o ganancia, la suma de la energía cinética y potencial permanece constante.

La energía cinética puede transmitirse de un objeto a otro. En el juego de billar , el jugador aplica energía cinética a la bola blanca golpeándola con el taco. Si la bola blanca choca con otra bola, se ralentiza drásticamente y la bola que golpea se acelera a medida que se le transmite la energía cinética. Las colisiones en el billar son efectivamente colisiones elásticas , en las que se conserva la energía cinética. En las colisiones inelásticas , la energía cinética se disipa en diversas formas de energía, como calor, sonido y energía de enlace (ruptura de estructuras ligadas).

Los volantes de inercia se han desarrollado como método de almacenamiento de energía . Esto demuestra que la energía cinética también se almacena en el movimiento de rotación.

Existen varias descripciones matemáticas de la energía cinética que la describen en la situación física apropiada. Para los objetos y procesos de la experiencia humana común, la fórmula ⁠1/2⁠ El valor ^de mv2 dado por la mecánica clásica es adecuado. Sin embargo, si la velocidad del objeto es comparable a la velocidad de la luz, los efectos relativistas se vuelven significativos y se utiliza la fórmula relativista. Si el objeto está en la escala atómica o subatómica , los efectos mecánicos cuánticos son significativos y se debe emplear un modelo mecánico cuántico.

Energía cinética para velocidad no relativista

Los tratamientos de la energía cinética dependen de la velocidad relativa de los objetos en comparación con la velocidad fija de la luz . Las velocidades experimentadas directamente por los seres humanos no son relativistas ; las velocidades más altas requieren la teoría de la relatividad .

Energía cinética de cuerpos rígidos

En mecánica clásica , la energía cinética de un objeto puntual (un objeto tan pequeño que se puede suponer que su masa existe en un punto), o un cuerpo rígido que no gira, depende de la masa del cuerpo así como de su velocidad . La energía cinética es igual a la mitad del producto de la masa por el cuadrado de la velocidad. En forma de fórmula:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

donde es la masa y es la rapidez (magnitud de la velocidad) del cuerpo. En unidades del SI , la masa se mide en kilogramos , la rapidez en metros por segundo y la energía cinética resultante se expresa en julios . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

Por ejemplo, se podría calcular la energía cinética de una masa de 80 kg (aproximadamente 180 libras) que viaja a 18 metros por segundo (aproximadamente 40 mph o 65 km/h) como

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\cdot 80\,{\text{kg}}\cdot \left(18\,{\text{m/s}}\right)^{2}=12,960\,{\text{J}}=12.96\,{\text{kJ}}}$

Cuando una persona lanza una pelota, realiza un trabajo sobre ella para darle velocidad cuando sale de la mano. La pelota en movimiento puede entonces golpear algo y empujarlo, realizando un trabajo sobre lo que golpea. La energía cinética de un objeto en movimiento es igual al trabajo requerido para llevarlo desde el reposo a esa velocidad, o el trabajo que el objeto puede hacer mientras se lo lleva al reposo: fuerza neta × desplazamiento = energía cinética , es decir,

${\displaystyle Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Como la energía cinética aumenta con el cuadrado de la velocidad, un objeto que duplica su velocidad tiene cuatro veces más energía cinética. Por ejemplo, un automóvil que viaja al doble de velocidad que otro necesita cuatro veces más distancia para detenerse, suponiendo que la fuerza de frenado es constante. Como consecuencia de esta cuadruplicación, se necesita cuatro veces más trabajo para duplicar la velocidad.

La energía cinética de un objeto está relacionada con su momento mediante la ecuación:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

dónde:

• ${\displaystyle p}$es impulso
• ${\displaystyle m}$es la masa del cuerpo

Para la energía cinética traslacional, es decir la energía cinética asociada al movimiento rectilíneo , de un cuerpo rígido con masa constante , cuyo centro de masa se mueve en línea recta con velocidad , como se ve arriba es igual a ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle E_{\text{t}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

dónde:

• ${\displaystyle m}$es la masa del cuerpo
• ${\displaystyle v}$es la velocidad del centro de masa del cuerpo.

La energía cinética de cualquier entidad depende del sistema de referencia en el que se mide. Sin embargo, la energía total de un sistema aislado, es decir, uno en el que la energía no puede entrar ni salir, no cambia con el tiempo en el sistema de referencia en el que se mide. Por lo tanto, la energía química convertida en energía cinética por un motor de cohete se divide de manera diferente entre el cohete y su corriente de escape dependiendo del sistema de referencia elegido. Esto se llama el efecto Oberth . Pero la energía total del sistema, incluida la energía cinética, la energía química del combustible, el calor, etc., se conserva a lo largo del tiempo, independientemente de la elección del sistema de referencia. Sin embargo, diferentes observadores que se mueven con diferentes sistemas de referencia no estarían de acuerdo sobre el valor de esta energía conservada.

La energía cinética de estos sistemas depende de la elección del sistema de referencia: el sistema de referencia que da el valor mínimo de esa energía es el sistema del centro de momento , es decir, el sistema de referencia en el que el momento total del sistema es cero. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema en su conjunto.

Derivación

Sin cálculo vectorial

El trabajo W realizado por una fuerza F sobre un objeto a lo largo de una distancia s paralela a F es igual a

${\displaystyle W=F\cdot s}$.

Utilizando la segunda ley de Newton

${\displaystyle F=ma}$

siendo m la masa y a la aceleración del objeto y

${\displaystyle s={\frac {at^{2}}{2}}}$

la distancia recorrida por el objeto acelerado en el tiempo t , la encontramos con para la velocidad v del objeto ${\displaystyle v=at}$

${\displaystyle W=ma{\frac {at^{2}}{2}}={\frac {m(at)^{2}}{2}}={\frac {mv^{2}}{2}}.}$

Con cálculo vectorial

El trabajo realizado al acelerar una partícula con masa m durante el intervalo de tiempo infinitesimal dt está dado por el producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento infinitesimal d x

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )\,,}$

donde hemos asumido la relación p  =  m  v y la validez de la Segunda Ley de Newton . (Sin embargo, véase también la derivación relativista especial a continuación).

Aplicando la regla del producto vemos que:

${\displaystyle d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )=(d\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot (d\mathbf {v} )=2(\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} ).}$

Por lo tanto, (suponiendo una masa constante de modo que dm = 0), tenemos,

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right).}$

Como se trata de una diferencial total (es decir, sólo depende del estado final, no de cómo llegó allí la partícula), podemos integrarla y llamar al resultado energía cinética:

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int _{v_{1}}^{v_{2}}\mathbf {p} d\mathbf {v} =\int _{v_{1}}^{v_{2}}m\mathbf {v} d\mathbf {v} ={mv^{2} \over 2}{\bigg \vert }_{v_{1}}^{v_{2}}={1 \over 2}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}$

Esta ecuación establece que la energía cinética ( E _k ) es igual a la integral del producto escalar del momento ( p ) de un cuerpo y el cambio infinitesimal de la velocidad ( v ) del cuerpo. Se supone que el cuerpo comienza sin energía cinética cuando está en reposo (inmóvil).

Cuerpos rotatorios

Si un cuerpo rígido Q está girando alrededor de cualquier línea que pase por el centro de masa, entonces tiene energía cinética rotacional ( ) que es simplemente la suma de las energías cinéticas de sus partes móviles, y por lo tanto viene dada por: ${\displaystyle E_{\text{r}}\,}$

${\displaystyle E_{\text{r}}=\int _{Q}{\frac {v^{2}dm}{2}}=\int _{Q}{\frac {(r\omega )^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int _{Q}{r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

dónde:

• ω es la velocidad angular del cuerpo
• r es la distancia de cualquier masa dm desde esa línea
• ${\displaystyle I}$es el momento de inercia del cuerpo , igual a . ${\textstyle \int _{Q}{r^{2}}dm}$

(En esta ecuación, el momento de inercia debe tomarse alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y la rotación medida por ω debe ser alrededor de ese eje; existen ecuaciones más generales para sistemas donde el objeto está sujeto a tambaleo debido a su forma excéntrica).

Energía cinética de los sistemas

Un sistema de cuerpos puede tener energía cinética interna debido al movimiento relativo de los cuerpos que lo componen. Por ejemplo, en el Sistema Solar, los planetas y planetoides orbitan alrededor del Sol. En un tanque de gas, las moléculas se mueven en todas direcciones. La energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas de los cuerpos que lo componen.

Un cuerpo macroscópico que está estacionario (es decir, se ha elegido un marco de referencia que corresponde al centro de momento del cuerpo ) puede tener varios tipos de energía interna a nivel molecular o atómico, que pueden considerarse como energía cinética, debido a la traslación, rotación y vibración molecular, la traslación y el espín de los electrones y el espín nuclear. Todos estos contribuyen a la masa del cuerpo, como lo proporciona la teoría especial de la relatividad. Cuando se habla de movimientos de un cuerpo macroscópico, la energía cinética a la que se hace referencia generalmente es solo la del movimiento macroscópico. Sin embargo, todas las energías internas de todos los tipos contribuyen a la masa, la inercia y la energía total de un cuerpo.

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , la energía cinética por unidad de volumen en cada punto de un campo de flujo de fluido incompresible se denomina presión dinámica en ese punto. ^[11]

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Dividiendo por V, la unidad de volumen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E_{\text{k}}}{V}}&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{V}}v^{2}\\q&={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\end{aligned}}}$

donde es la presión dinámica y ρ es la densidad del fluido incompresible. ${\displaystyle q}$

Marco de referencia

La velocidad, y por lo tanto la energía cinética de un solo objeto, depende del marco de referencia (es relativa): puede tomar cualquier valor no negativo, eligiendo un marco de referencia inercial adecuado . Por ejemplo, una bala que pasa por un observador tiene energía cinética en el marco de referencia de este observador. La misma bala es estacionaria para un observador que se mueve con la misma velocidad que la bala, y por lo tanto tiene energía cinética cero. ^[12] Por el contrario, la energía cinética total de un sistema de objetos no se puede reducir a cero mediante una elección adecuada del marco de referencia inercial, a menos que todos los objetos tengan la misma velocidad. En cualquier otro caso, la energía cinética total tiene un mínimo distinto de cero, ya que no se puede elegir un marco de referencia inercial en el que todos los objetos estén estacionarios. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema , que es independiente del marco de referencia.

La energía cinética total de un sistema depende del marco de referencia inercial : es la suma de la energía cinética total en un marco de centro de momento y la energía cinética que tendría la masa total si estuviera concentrada en el centro de masa .

Esto se puede demostrar de forma sencilla: sea la velocidad relativa del centro de masa del marco i en el marco k . Dado que ${\displaystyle \textstyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle v^{2}=\left(v_{i}+V\right)^{2}=\left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)=\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} =v_{i}^{2}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +V^{2},}$

Entonces,

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int {\frac {v^{2}}{2}}dm=\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+\mathbf {V} \cdot \int \mathbf {v} _{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm.}$

Sin embargo, supongamos que la energía cinética en el marco del centro de masas es simplemente el momento total que, por definición, es cero en el marco del centro de masas, y que la masa total es: . Sustituyendo, obtenemos: ^[13] ${\textstyle \int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}}$ ${\textstyle \int \mathbf {v} _{i}dm}$ ${\textstyle \int dm=M}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}.}$

Por lo tanto, la energía cinética de un sistema es más baja en los sistemas de referencia del centro de momento, es decir, sistemas de referencia en los que el centro de masas está estacionario (ya sea el sistema del centro de masas o cualquier otro sistema del centro de momento ). En cualquier sistema de referencia diferente, hay energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidad del centro de masas. La energía cinética del sistema en el sistema del centro de momento es una cantidad que es invariante (todos los observadores la ven como la misma).

Rotación en sistemas

A veces es conveniente dividir la energía cinética total de un cuerpo en la suma de la energía cinética de traslación del centro de masa del cuerpo y la energía de rotación alrededor del centro de masa ( energía rotacional ):

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{\text{t}}+E_{\text{r}}}$

dónde:

• E _k es la energía cinética total
• E _t es la energía cinética traslacional
• E _r es la energía rotacional o energía cinética angular en el marco de reposo

Por lo tanto, la energía cinética de una pelota de tenis en vuelo es la energía cinética debida a su rotación, más la energía cinética debida a su traslación.

Energía cinética relativista

Si la velocidad de un cuerpo es una fracción significativa de la velocidad de la luz , es necesario utilizar la mecánica relativista para calcular su energía cinética. En relatividad, la energía total viene dada por la relación energía-momento :

$${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

Aquí usamos la expresión relativista para el momento lineal: , donde . siendo la masa (en reposo) de un objeto , la velocidad y c la velocidad de la luz en el vacío. Entonces la energía cinética es la energía relativista total menos la energía en reposo : ${\displaystyle p=m\gamma v}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle E_{K}=E-m_{0}c^{2}={\sqrt {(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}}}-m_{0}c^{2}}$$

A bajas velocidades, la raíz cuadrada se puede expandir y la energía restante desaparece, obteniéndose la energía cinética newtoniana.

Logaritmo de la energía cinética relativista frente al logaritmo del momento relativista, para muchos objetos de escalas muy diferentes. Las intersecciones de las líneas de los objetos con el eje inferior se aproximan a la energía en reposo. A baja energía cinética, la pendiente de las líneas de los objetos refleja la mecánica newtoniana. A medida que las líneas se aproximan, la pendiente se curva en la barrera de la velocidad de la luz. ${\displaystyle c}$

Derivación

Comience con la expresión para el momento lineal , donde . Integrando por partes se obtiene ${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d\left(v^{2}\right)}$

Desde , ${\displaystyle \gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$es una constante de integración para la integral indefinida .

Simplificando la expresión obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\right)-E_{0}\\&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}-v^{2}\right)-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$se encuentra observando que cuando y , dando ${\displaystyle \mathbf {v} =0,\ \gamma =1}$ ${\displaystyle E_{\text{k}}=0}$

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$

resultando en la fórmula

${\displaystyle E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-mc^{2}=(\gamma -1)mc^{2}}$

Esta fórmula muestra que el trabajo empleado para acelerar un objeto desde el reposo tiende al infinito a medida que la velocidad se aproxima a la velocidad de la luz. Por lo tanto, es imposible acelerar un objeto más allá de este límite.

El subproducto matemático de este cálculo es la fórmula de equivalencia masa-energía : el cuerpo en reposo debe tener un contenido de energía

${\displaystyle E_{\text{rest}}=E_{0}=mc^{2}}$

A baja velocidad ( v ≪ c ), la energía cinética relativista se aproxima bien a la energía cinética clásica. Esto se hace mediante una aproximación binomial o tomando los dos primeros términos de la expansión de Taylor para la raíz cuadrada recíproca:

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Entonces, la energía total se puede dividir en la energía de la masa en reposo más la energía cinética no relativista a bajas velocidades. ${\displaystyle E_{k}}$

Cuando los objetos se mueven a una velocidad mucho menor que la de la luz (por ejemplo, en los fenómenos cotidianos en la Tierra), predominan los dos primeros términos de la serie. El siguiente término en la aproximación de la serie de Taylor

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}}$

es pequeña para velocidades bajas. Por ejemplo, para una velocidad de 10 km/s (22.000 mph), la corrección de la energía cinética no relativista es 0,0417 J/kg (con una energía cinética no relativista de 50 MJ/kg) y para una velocidad de 100 km/s es 417 J/kg (con una energía cinética no relativista de 5 GJ/kg).

La relación relativista entre la energía cinética y el momento está dada por

${\displaystyle E_{\text{k}}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$

Esto también se puede expandir como una serie de Taylor , cuyo primer término es la expresión simple de la mecánica newtoniana: ^[14]

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.}$

Esto sugiere que las fórmulas para la energía y el momento no son especiales y axiomáticas, sino conceptos que surgen de la equivalencia de masa y energía y de los principios de la relatividad.

Relatividad general

Utilizando la convención que

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\,u^{\alpha }\,u^{\beta }\,=\,-c^{2}}$

donde la velocidad cuadrática de una partícula es

${\displaystyle u^{\alpha }\,=\,{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$

y es el tiempo propio de la partícula, también hay una expresión para la energía cinética de la partícula en la relatividad general . ${\displaystyle \tau }$

Si la partícula tiene momento

${\displaystyle p_{\beta }\,=\,m\,g_{\beta \alpha }\,u^{\alpha }}$

a medida que pasa por un observador con cuatro velocidades u _obs , entonces la expresión para la energía total de la partícula observada (medida en un marco inercial local) es

${\displaystyle E\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }}$

y la energía cinética se puede expresar como la energía total menos la energía en reposo:

${\displaystyle E_{k}\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }\,-\,m\,c^{2}\,.}$

Consideremos el caso de una métrica que es diagonal y espacialmente isótropa ( g _tt , g _ss , g _ss , g _ss ). Dado que

${\displaystyle u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=v^{\alpha }u^{t}}$

donde v ^α es la velocidad ordinaria medida respecto del sistema de coordenadas, obtenemos

${\displaystyle -c^{2}=g_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=g_{tt}\left(u^{t}\right)^{2}+g_{ss}v^{2}\left(u^{t}\right)^{2}\,.}$

Resolviendo para u ^t se obtiene

${\displaystyle u^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}\,.}$

Por lo tanto, para un observador estacionario ( v = 0)

${\displaystyle u_{\text{obs}}^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}}}}}$

y así la energía cinética toma la forma

${\displaystyle E_{\text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{\text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2}\,.}$

Al factorizar la energía en reposo se obtiene:

${\displaystyle E_{\text{k}}=mc^{2}\left({\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-1\right)\,.}$

Esta expresión se reduce al caso relativista especial para la métrica del espacio plano donde

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-c^{2}\\g_{ss}&=1\,.\end{aligned}}}$

En la aproximación newtoniana a la relatividad general

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-\left(c^{2}+2\Phi \right)\\g_{ss}&=1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\end{aligned}}}$

donde Φ es el potencial gravitatorio newtoniano . Esto significa que los relojes funcionan más lento y las varas de medición son más cortas cerca de cuerpos masivos.

Energía cinética en la mecánica cuántica

En mecánica cuántica , los observables como la energía cinética se representan como operadores . Para una partícula de masa m , el operador de energía cinética aparece como un término en el hamiltoniano y se define en términos del operador de momento más fundamental . El operador de energía cinética en el caso no relativista se puede escribir como ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.}$

Nótese que esto se puede obtener reemplazando por en la expresión clásica para la energía cinética en términos de momento , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$

En la imagen de Schrödinger , toma la forma donde la derivada se toma con respecto a las coordenadas de posición y, por lo tanto, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$

${\displaystyle {\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}.}$

El valor esperado de la energía cinética del electrón, , para un sistema de N electrones descrito por la función de onda es una suma de valores esperados del operador de 1 electrón: ${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$

${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle =\left\langle \psi \left\vert \sum _{i=1}^{N}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \psi \left\vert \nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle }$

donde es la masa del electrón y es el operador laplaciano que actúa sobre las coordenadas del i ^-ésimo electrón y la suma se ejecuta sobre todos los electrones. ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \nabla _{i}^{2}}$

El formalismo funcional de la densidad de la mecánica cuántica requiere únicamente el conocimiento de la densidad electrónica , es decir, formalmente no requiere el conocimiento de la función de onda. Dada una densidad electrónica , se desconoce la energía cinética funcional exacta de N electrones; sin embargo, para el caso específico de un sistema de 1 electrón, la energía cinética se puede escribir como ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r}$

donde se conoce como la funcional de energía cinética de von Weizsäcker . ${\displaystyle T[\rho ]}$

Véase también

• Portal de energía

• Velocidad de escape
• Pie-libra
• Joule
• Penetrador de energía cinética
• Energía cinética por unidad de masa de proyectiles
• Proyectil cinético
• Teorema de los ejes paralelos
• Energía potencial
• Retroceso

Notas

1. Jain, Mahesh C. (2009). Libro de texto de física de ingeniería (parte I). PHI Learning Pvt. pág. 9. ISBN 978-81-203-3862-3Archivado desde el original el 4 de agosto de 2020. Consultado el 21 de junio de 2018 ., Capítulo 1, pág. 9 Archivado el 4 de agosto de 2020 en Wayback Machine.
2. Resnick, Robert y Halliday, David (1960) Física , Sección 7-5, Wiley International Edition
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Referencias

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Enlaces externos

• Medios relacionados con Energía cinética en Wikimedia Commons