La dependencia de largo alcance ( LRD ), también llamada memoria larga o persistencia de largo alcance , es un fenómeno que puede surgir en el análisis de datos de series espaciales o temporales . Se relaciona con la tasa de disminución de la dependencia estadística de dos puntos al aumentar el intervalo de tiempo o la distancia espacial entre los puntos. Generalmente se considera que un fenómeno tiene dependencia de largo alcance si la dependencia decae más lentamente que una decadencia exponencial , típicamente una decadencia similar a la de una potencia. LRD a menudo se relaciona con procesos o campos autosimilares . LRD se ha utilizado en diversos campos, como la modelización del tráfico de Internet, la econometría , la hidrología , la lingüística y las ciencias de la tierra. Se utilizan diferentes definiciones matemáticas de LRD para diferentes contextos y propósitos. [1] [2] [3] [4] [5] [6]
Una forma de caracterizar los procesos estacionarios dependientes de largo y corto alcance es en términos de sus funciones de autocovarianza . Para un proceso dependiente de corto alcance, el acoplamiento entre valores en diferentes momentos disminuye rápidamente a medida que aumenta la diferencia de tiempo. O la autocovarianza cae a cero después de un cierto retraso o eventualmente tiene una caída exponencial . En el caso de LRD, existe un acoplamiento mucho más fuerte. La caída de la función de autocovarianza es similar a una potencia y, por lo tanto, es más lenta que exponencial.
Una segunda forma de caracterizar la dependencia a largo y corto plazo es en términos de la varianza de la suma parcial de valores consecutivos. Para la dependencia de corto alcance, la varianza generalmente crece proporcionalmente al número de términos. En cuanto a LRD, la varianza de la suma parcial aumenta más rápidamente, lo que suele ser una función de potencia con un exponente mayor que 1. Una forma de examinar este comportamiento utiliza el rango reescalado . Este aspecto de dependencia a largo plazo es importante en el diseño de represas en ríos para recursos hídricos , donde las sumas corresponden al flujo total de entrada a la represa durante un período prolongado. [7]
Las dos formas anteriores están relacionadas matemáticamente entre sí, pero no son las únicas formas de definir LRD. En el caso de que la autocovarianza del proceso no exista ( colas pesadas ), hay que encontrar otras formas de definir lo que significa LRD, y esto a menudo se hace con la ayuda de procesos autosemejantes .
El parámetro de Hurst H es una medida del grado de dependencia a largo plazo en una serie temporal (aunque tiene otro significado en el contexto de procesos autosemejantes ). H toma valores de 0 a 1. Un valor de 0,5 indica la ausencia de dependencia a largo plazo. [8] Cuanto más cerca esté H de 1, mayor será el grado de persistencia o dependencia a largo plazo. H inferior a 0,5 corresponde a antipersistencia, que a diferencia de LRD indica una fuerte correlación negativa, de modo que el proceso fluctúa violentamente.
Las varianzas que decaen lentamente, LRD y una densidad espectral que obedece a una ley potencial son manifestaciones diferentes de la propiedad de la covarianza subyacente de un proceso estacionario X. Por lo tanto, es posible abordar el problema de estimar el parámetro de Hurst desde tres ángulos diferentes:
Dada una secuencia LRD estacionaria, la suma parcial, si se ve como un proceso indexado por el número de términos después de una escala adecuada, es un proceso autosemejante con incrementos estacionarios asintóticamente, siendo el más típico el movimiento browniano fraccionario . A la inversa, dado un proceso autosemejante con incrementos estacionarios con índice de Hurst H > 0,5, sus incrementos (diferencias consecutivas del proceso) son una secuencia LRD estacionaria.
Esto también es válido si la secuencia depende de un corto alcance, pero en este caso el proceso autosemejante resultante de la suma parcial sólo puede ser un movimiento browniano ( H = 0,5).
Entre los modelos estocásticos que se utilizan para la dependencia de largo alcance, algunos populares son los modelos autorregresivos de promedio móvil fraccionalmente integrados , que se definen para procesos de tiempo discreto, mientras que los modelos de tiempo continuo pueden comenzar a partir del movimiento browniano fraccionario .
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