Covarianza manifiesta

En relatividad general , una ecuación manifiestamente covariante es aquella en la que todas las expresiones son tensores . Las operaciones de adición, multiplicación de tensores , contracción de tensores , elevación y disminución de índices y diferenciación covariante pueden aparecer en la ecuación. Los términos prohibidos incluyen, entre otros, las derivadas parciales . Las densidades de tensores , especialmente los integrandos y las variables de integración, pueden permitirse en ecuaciones manifiestamente covariantes si están claramente ponderadas por la potencia apropiada del determinante de la métrica.

Escribir una ecuación en forma manifiestamente covariante es útil porque garantiza la covariancia general tras una inspección rápida. Si una ecuación es manifiestamente covariante y se reduce a una ecuación correcta correspondiente en relatividad especial cuando se evalúa instantáneamente en un sistema inercial local , entonces suele ser la generalización correcta de la ecuación relativista especial en relatividad general.

Ejemplo

Una ecuación puede ser covariante de Lorentz incluso si no es manifiestamente covariante. Consideremos el tensor del campo electromagnético

${\displaystyle F_{ab}\,=\,\partial _{a}A_{b}\,-\,\partial _{b}A_{a}\,}$

donde es el potencial electromagnético de cuatro fases en el calibre de Lorenz . La ecuación anterior contiene derivadas parciales y, por lo tanto, no es manifiestamente covariante. Nótese que las derivadas parciales pueden escribirse en términos de derivadas covariantes y símbolos de Christoffel como ${\displaystyle A_{a}}$

${\displaystyle \partial _{a}A_{b}=\nabla _{a}A_{b}+\Gamma _{ab}^{c}A_{c}}$

${\displaystyle \partial _{b}A_{a}=\nabla _{b}A_{a}+\Gamma _{ba}^{c}A_{c}}$

Para una métrica libre de torsión supuesta en la relatividad general, podemos apelar a la simetría de los símbolos de Christoffel.

${\displaystyle \Gamma _{ab}^{c}-\Gamma _{ba}^{c}=0,}$

lo que permite escribir el tensor de campo en forma manifiestamente covariante

${\displaystyle F_{ab}\,=\,\nabla _{a}A_{b}\,-\,\nabla _{b}A_{a}.}$

Véase también

• Covarianza de Lorentz
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general

Referencias

• CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª edición). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3.
• John Archibald Wheeler ; C. Misner ; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.