Teorema de rango cerrado

Mathematical theorem about Banach spaces

En la teoría matemática de los espacios de Banach , el teorema del rango cerrado proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que un operador cerrado densamente definido tenga un rango cerrado .

Historia

El teorema fue demostrado por Stefan Banach en su Théorie des opérations linéaires de 1932 .

Declaración

Sean y espacios de Banach, un operador lineal cerrado cuyo dominio es denso en y transpuesto de . El teorema afirma que las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:D(T)\to Y}$ ${\displaystyle D(T)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle R(T),}$el rango de está cerrado en ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle Y.}$
• ${\displaystyle R(T'),}$el rango de está cerrado en el dual de ${\displaystyle T',}$ ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle R(T)=N(T')^{\perp }=\left\{y\in Y:\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{for all}}\quad x^{*}\in N(T')\right\}.}$
• ${\displaystyle R(T')=N(T)^{\perp }=\left\{x^{*}\in X':\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{for all}}\quad y\in N(T)\right\}.}$

Donde y son el espacio nulo de y , respectivamente. ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle N(T')}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

Tenga en cuenta que siempre hay una inclusión , porque si y , entonces . Asimismo, hay una inclusión . Entonces, la parte no trivial del teorema anterior es la inclusión opuesta en los dos últimos puntos. ${\displaystyle R(T)\subseteq N(T')^{\perp }}$ ${\displaystyle y=Tx}$ ${\displaystyle x^{*}\in N(T')}$ ${\displaystyle \langle x^{*},y\rangle =\langle T'x^{*},x\rangle =0}$ ${\displaystyle R(T')\subseteq N(T)^{\perp }}$

Corolarios

Varios corolarios se desprenden inmediatamente del teorema. Por ejemplo, un operador cerrado densamente definido como el anterior tiene si y sólo si la transpuesta tiene una inversa continua. De manera similar, si y sólo si tiene una inversa continua. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R(T)=Y}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle R(T')=X'}$ ${\displaystyle T}$

Referencias

• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
• Yosida, K. (1980), Análisis funcional , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Principios fundamentales de las ciencias matemáticas), vol. 123 (6ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag.