Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades

Ensayo de matemáticas de 1763 de Thomas Bayes

« Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades » es una obra sobre la teoría matemática de la probabilidad de Thomas Bayes , publicada en 1763, ^[1] dos años después de la muerte de su autor, y que contiene múltiples modificaciones y añadidos debido a su amigo Richard Price . El título proviene del uso contemporáneo de la frase «doctrina de las probabilidades» para referirse a la teoría de la probabilidad, que había sido introducida a través del título de un libro de Abraham de Moivre . Las reimpresiones contemporáneas del ensayo llevan un título más específico y significativo: Un método para calcular la probabilidad exacta de todas las conclusiones fundadas en la inducción . ^[2]

El ensayo incluye teoremas de probabilidad condicional que forman la base de lo que ahora se llama Teorema de Bayes , junto con un tratamiento detallado del problema de establecer una probabilidad previa .

Bayes supuso una secuencia de experimentos independientes, cada uno de los cuales tiene como resultado el éxito o el fracaso, siendo la probabilidad de éxito un número p entre 0 y 1. Pero luego supuso que p era una cantidad incierta, cuya probabilidad de estar en cualquier intervalo entre 0 y 1 es la longitud del intervalo. En términos modernos, p se consideraría una variable aleatoria distribuida uniformemente entre 0 y 1. Condicionalmente en el valor de p , los ensayos que resultan en éxito o fracaso son independientes, pero incondicionalmente (o " marginalmente ") no lo son. Esto se debe a que si se observa un gran número de éxitos, entonces es más probable que p sea grande, por lo que el éxito en el siguiente ensayo es más probable. La pregunta que abordó Bayes fue: ¿cuál es la distribución de probabilidad condicional de p , dado el número de éxitos y fracasos observados hasta ahora? La respuesta es que su función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(p)={\frac {(n+1)!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}{\text{ for }}0\leq p\leq 1}$

(y ƒ ( p ) = 0 para p  < 0 o p  > 1) donde k es el número de éxitos observados hasta el momento y n es el número de ensayos observados hasta el momento. Esto es lo que hoy se llama distribución Beta con parámetros k  + 1 y n  −  k  + 1.

Describir

Los resultados preliminares de Bayes en probabilidad condicional (especialmente las proposiciones 3, 4 y 5) implican la verdad del teorema que lleva su nombre. Afirma: "Si hay dos eventos subsiguientes, la probabilidad del segundo b/N y la probabilidad de ambos juntos P/N, y se descubre primero que el segundo evento también ha sucedido, de ahí que adivino que el primer evento también ha sucedido, la probabilidad de que esté en lo cierto es P/b". Simbólicamente, esto implica (véase Stigler 1982):

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ if }}P(A)\neq 0,}$

lo que conduce al Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

${\displaystyle \Rightarrow P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0.}$

Sin embargo, no parece que Bayes hiciera hincapié en este hallazgo ni se centrara en él, sino que se centró en encontrar la solución a un problema inferencial mucho más amplio:

"Dada la cantidad de veces que un evento desconocido ha ocurrido y ha fallado, [... Halle] la probabilidad de que ocurra en un solo ensayo se encuentre en algún punto entre dos grados de probabilidad cualesquiera que puedan nombrarse". ^[1]

El ensayo incluye un ejemplo de un hombre que intenta adivinar la proporción de "blancos" y "premios" en una lotería. Hasta ahora, el hombre ha visto que la lotería extrae diez blancos y un premio. Con estos datos, Bayes mostró en detalle cómo calcular la probabilidad de que la proporción de blancos a premios esté entre 9:1 y 11:1 (la probabilidad es baja: alrededor del 7,7%). Continuó describiendo ese cálculo después de que el hombre haya visto que la lotería extrae veinte blancos y dos premios, cuarenta blancos y cuatro premios, y así sucesivamente. Finalmente, después de haber extraído 10.000 blancos y 1.000 premios, la probabilidad alcanza aproximadamente el 97%. ^[1]

El resultado principal de Bayes (Proposición 9) es el siguiente en términos modernos:

Supongamos una distribución previa uniforme del parámetro binomial . Después de observar los éxitos y los fracasos, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle P(a<p<b\mid m;n)={\frac {\int _{a}^{b}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}{\int _{0}^{1}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}}.}$

No está claro si Bayes era un "bayesiano" en el sentido moderno. Es decir, si estaba interesado en la inferencia bayesiana o simplemente en la probabilidad . La Proposición 9 parece "bayesiana" en su presentación como una probabilidad acerca del parámetro . Sin embargo, Bayes formuló su pregunta de una manera que sugiere un punto de vista frecuentista: supuso que se lanza una bola al azar sobre una mesa cuadrada (esta mesa a menudo se representa erróneamente como una mesa de billar y la bola como una bola de billar, pero Bayes nunca las describe como tales), y consideró otras bolas que caen a la izquierda o derecha de la primera bola con probabilidades y . Por supuesto, el álgebra es idéntica sin importar qué punto de vista se adopte. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$

Richard Price y la existencia de Dios

Richard Price descubrió el ensayo de Bayes y su famoso teorema en los documentos de Bayes después de su muerte. Creía que el teorema de Bayes ayudaba a demostrar la existencia de Dios ("la Deidad") y escribió lo siguiente en su introducción al ensayo:

"El propósito que quiero expresar es mostrar qué razón tenemos para creer que en la constitución de las cosas hay leyes fijas según las cuales las cosas suceden y que, por lo tanto, la estructura del mundo debe ser el efecto de la sabiduría y el poder de una causa inteligente; y así confirmar el argumento tomado de las causas finales para la existencia de la Deidad. Será fácil ver que el problema inverso resuelto en este ensayo es más directamente aplicable a este propósito; porque nos muestra, con claridad y precisión, en cada caso de cualquier orden particular o recurrencia de eventos, qué razón hay para pensar que tal recurrencia u orden se deriva de causas o regulaciones estables en la naturaleza, y no de irregularidades del azar". ( Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 1763) ^[1]

En términos modernos, este es un ejemplo del argumento teleológico .

Versiones del ensayo

• Bayes, Sr.; Price, Sr. (1763). "Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades. Por el difunto reverendo Sr. Bayes, FRS, comunicado por el Sr. Price, en una carta a John Canton, AMFR S" (PDF) . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 53 : 370–418. doi : 10.1098/rstl.1763.0053 .
• Barnard, G. A (1958). "Estudios en la historia de la probabilidad y la estadística: Ix. Ensayo de Thomas Bayes para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades". Biometrika . 45 (3–4): 293–295. doi :10.1093/biomet/45.3-4.293.
• Thomas Bayes "Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades". (El ensayo de Bayes en la notación original)

Comentarios

• GA Barnard (1958) "Estudios sobre la historia de la probabilidad y la estadística: IX. El ensayo de Thomas Bayes sobre la solución de un problema en la doctrina de las probabilidades", Biometrika 45:293–295. (comentarios biográficos)
• Stephen M. Stigler (1982). "Thomas Bayes's Bayesian Inference", Journal of the Royal Statistical Society , Serie A, 145:250–258. (Stigler aboga por una interpretación revisada del ensayo; se recomienda)
• Isaac Todhunter (1865). Una historia de la teoría matemática de la probabilidad desde la época de Pascal hasta la de Laplace , Macmillan. Reimpreso en 1949, 1956 por Chelsea y 2001 por Thoemmes.

Referencias

1. Bayes, Sr.; Price, Sr. (1763). "Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades. Por el difunto reverendo Sr. Bayes, FRS, comunicado por el Sr. Price, en una carta a John Canton, AMFR S" (PDF) . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 53 : 370–418. doi : 10.1098/rstl.1763.0053 . Archivado desde el original (PDF) el 2011-04-10 . Consultado el 2011-09-25 .
2. Stigler, Stephen M (2013). "El verdadero título del ensayo de Bayes". Ciencia estadística . 28 (3): 283–288. arXiv : 1310.0173 . doi :10.1214/13-STS438.

Enlaces externos

• Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades en Internet Archive
• Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades en el Departamento de Estadística de la UCLA