Turbulencia magnetohidrodinámica

Turbulencia que afecta a los regímenes de flujo de magnetofluidos con un número de Reynolds alto

La turbulencia magnetohidrodinámica se refiere a los regímenes caóticos del flujo de magnetofluidos con un número de Reynolds alto . La magnetohidrodinámica (MHD) se ocupa de lo que es un fluido casi neutro y de muy alta conductividad . La aproximación fluida implica que la atención se centra en escalas macro de longitud y tiempo que son mucho mayores que la duración y el tiempo de colisión, respectivamente.

Ecuaciones MHD incompresibles

Las ecuaciones MHD incompresibles para densidad de masa constante, son ${\displaystyle \rho =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p+\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {B} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} \\[5pt]{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {B} &=\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {u} +\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {B} &=0.\end{aligned}}}$

dónde

• u representa la velocidad,
• B representa el campo magnético,
• p representa los campos de presión total (térmica + magnética),
• ${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática y
• ${\displaystyle \eta }$representa la difusividad magnética .

La tercera ecuación es la condición de incompresibilidad . En la ecuación anterior, el campo magnético está en unidades Alfvén (igual que las unidades de velocidad).

El campo magnético total se puede dividir en dos partes: (media + fluctuaciones). ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B_{0}} +\mathbf {b} }$

Las ecuaciones anteriores en términos de variables de Elsässer ( ) son ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\pm }=\mathbf {u} \pm \mathbf {b} }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {z} ^{\pm }}}{\partial t}}\mp \left(\mathbf {B} _{0}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}+\left({\mathbf {z} ^{\mp }}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}=-{\mathbf {\nabla } }p+\nu _{+}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\pm }+\nu _{-}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\mp }}$

dónde . Entre las fluctuaciones alfvénicas se producen interacciones no lineales . ${\displaystyle \nu _{\pm }={\frac {1}{2}}(\nu \pm \eta )}$ ${\displaystyle z^{\mp }}$

Los parámetros adimensionales importantes para MHD son

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{Reynolds number }}Re&=&UL/\nu \\{\text{Magnetic Reynolds number }}Re_{M}&=&UL/\eta \\{\text{Magnetic Prandtl number }}P_{M}&=&\nu /\eta .\end{array}}}$

El número magnético de Prandtl es una propiedad importante del fluido. Los metales líquidos tienen números de Prandtl magnéticos pequeños, por ejemplo, el sodio líquido es de alrededor de . Pero los plasmas tienen grandes . ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle 10^{-5}}$ ${\displaystyle P_{M}}$

El número de Reynolds es la relación entre el término no lineal de la ecuación de Navier-Stokes y el término viscoso. Mientras que el número de Reynolds magnético es la relación entre el término no lineal y el término difusivo de la ecuación de inducción. ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} }$

En muchas situaciones prácticas, el número de Reynolds del flujo es bastante grande. Para tales flujos normalmente la velocidad y los campos magnéticos son aleatorios. Se dice que estos flujos exhiben turbulencia MHD. Tenga en cuenta que no es necesario que sea grande para la turbulencia MHD. Juega un papel importante en el problema de la dinamo (generación de campo magnético). ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re_{M}}$ ${\displaystyle Re_{M}}$

El campo magnético medio juega un papel importante en la turbulencia MHD; por ejemplo, puede hacer que la turbulencia sea anisotrópica; suprimir la turbulencia disminuyendo la cascada de energía , etc. Los modelos de turbulencia MHD anteriores asumieron la isotropía de la turbulencia, mientras que los modelos posteriores han estudiado aspectos anisotrópicos. En las siguientes discusiones se resumirán estos modelos. Se pueden encontrar más debates sobre la turbulencia MHD en Biskamp, ^​​[1] Verma. ^[2] y Galtier.

Modelos isotrópicos

Iroshnikov ^[3] y Kraichnan ^[4] formularon la primera teoría fenomenológica de la turbulencia MHD. Argumentaron que en presencia de un campo magnético medio fuerte, los paquetes de ondas viajan en direcciones opuestas con la velocidad de fase de e interactúan débilmente. La escala de tiempo relevante es el tiempo de Alfven . Como resultado, el espectro de energía es ${\displaystyle z^{+}}$ ${\displaystyle z^{-}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle (B_{0}k)^{-1}}$

${\displaystyle E^{u}(k)\approx E^{b}(k)\approx A(\Pi V_{A})^{1/2}k^{-3/2}.}$

¿Dónde está la tasa de cascada de energía? ${\displaystyle \Pi }$

Posteriormente Dobrowolny et al. ^[5] derivó las siguientes fórmulas generalizadas para las tasas en cascada de variables: ${\displaystyle z^{\pm }}$

${\displaystyle \Pi ^{+}\approx \Pi ^{-}\approx \tau _{k}^{\pm }E^{+}(k)E^{-}(k)k^{4}\approx E^{+}(k)E^{-}(k)k^{3}/B_{0}}$

¿Dónde están las escalas de tiempo de interacción de las variables? ${\displaystyle \tau ^{\pm }}$ ${\displaystyle z^{\pm }}$

La fenomenología de Iroshnikov y Kraichnan sigue una vez que elegimos . ${\displaystyle \tau ^{\pm }\approx 1/(kV_{A})}$

Marsch ^[6] eligió la escala de tiempo no lineal como escala de tiempo de interacción para los remolinos y derivó el espectro de energía tipo Kolmogorov para las variables de Elsasser: ${\displaystyle T_{NL}^{\pm }\approx (kz_{k}^{\mp })^{-1}}$

${\displaystyle E^{\pm }(k)=K^{\pm }(\Pi ^{\pm })^{4/3}(\Pi ^{\mp })^{-2/3}k^{-5/3}}$

donde y son las tasas de cascada de energía de y respectivamente, y son constantes. ${\displaystyle \Pi ^{+}}$ ${\displaystyle \Pi ^{-}}$ ${\displaystyle z^{+}}$ ${\displaystyle z^{-}}$ ${\displaystyle K^{\pm }}$

Matthaeus y Zhou ^[7] intentaron combinar las dos escalas de tiempo anteriores postulando que el tiempo de interacción es la media armónica del tiempo de Alfven y el tiempo no lineal.

La principal diferencia entre las dos fenomenologías en competencia (−3/2 y −5/3) son las escalas de tiempo elegidas para el tiempo de interacción. La principal suposición subyacente es que la fenomenología de Iroshnikov y Kraichnan debería funcionar para un campo magnético medio fuerte, mientras que la fenomenología de Marsh debería funcionar cuando las fluctuaciones dominan el campo magnético medio (turbulencia fuerte).

Sin embargo, como veremos más adelante, las observaciones del viento solar y las simulaciones numéricas tienden a favorecer el espectro de energía −5/3 incluso cuando el campo magnético medio es más fuerte en comparación con las fluctuaciones. Verma ^[8] resolvió este problema utilizando un análisis de grupo de renormalización al mostrar que las fluctuaciones alfvénicas se ven afectadas por un "campo magnético medio local" dependiente de la escala. El campo magnético medio local escala como , cuya sustitución en la ecuación de Dobrowolny produce el espectro de energía de Kolmogorov para la turbulencia MHD. ${\displaystyle k^{-1/3}}$

También se han realizado análisis de grupos de renormalización para calcular la viscosidad y resistividad renormalizadas. Se demostró que estas cantidades difusivas escalan a medida que nuevamente producen espectros de energía consistentes con el modelo tipo Kolmogorov para la turbulencia MHD. El cálculo del grupo de renormalización anterior se ha realizado para helicidad cruzada cero y distinta de cero. ${\displaystyle k^{-4/3}}$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$

Las fenomenologías anteriores suponen una turbulencia isotrópica que no es el caso en presencia de un campo magnético medio. El campo magnético medio normalmente suprime la cascada de energía a lo largo de la dirección del campo magnético medio. ^[9]

Modelos anisotrópicos

El campo magnético medio hace que la turbulencia sea anisotrópica. Este aspecto ha sido estudiado en las últimas dos décadas. En el límite , Galtier et al. ^[10] demostró usando ecuaciones cinéticas que ${\displaystyle \delta z^{\pm }\ll B_{0}}$

${\displaystyle E(k)\sim (\Pi B_{0})^{1/2}k_{\parallel }^{1/2}k_{\perp }^{-2}}$

donde y son componentes del número de onda paralelas y perpendiculares al campo magnético medio. El límite anterior se llama límite de turbulencia débil . ${\displaystyle k_{\parallel }}$ ${\displaystyle k_{\perp }}$

Bajo el límite de turbulencia fuerte , Goldereich y Sridhar ^[11] argumentan que ("estado de equilibrio crítico"), lo que implica que ${\displaystyle \delta z^{\pm }\sim B_{0}}$ ${\displaystyle k_{\perp }z_{k_{\perp }}\sim k_{\parallel }B_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(k)&\propto k_{\perp }^{-5/3};\\[5pt]k_{\parallel }&\propto k_{\perp }^{2/3}\end{aligned}}}$

La fenomenología de turbulencia anisotrópica anterior se ha ampliado para MHD de gran helicidad cruzada.

Observaciones del viento solar.

El plasma del viento solar se encuentra en un estado turbulento. Los investigadores han calculado los espectros de energía del plasma del viento solar a partir de los datos recopilados por la nave espacial. Los espectros de energía cinética y magnética, además, están más cerca de , favoreciendo así una fenomenología similar a la de Kolmogorov para la turbulencia MHD. ^{[12] [13]} Las fluctuaciones de la densidad electrónica interplanetaria e interestelar también proporcionan una ventana para investigar la turbulencia MHD. ${\displaystyle E^{\pm }}$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$ ${\displaystyle k^{-3/2}}$

Simulaciones numéricas

Los modelos teóricos discutidos anteriormente se prueban utilizando la simulación numérica directa (DNS) de alta resolución. Varias simulaciones recientes informan que los índices espectrales están más cerca de 5/3. ^[14] Hay otros que reportan índices espectrales cercanos a 3/2. El régimen de la ley de potencia suele durar menos de una década. Dado que 5/3 y 3/2 son numéricamente bastante cercanos, es bastante difícil determinar la validez de los modelos de turbulencia MHD a partir de los espectros de energía.

Los flujos de energía pueden ser cantidades más confiables para validar los modelos de turbulencia MHD. Cuando (fluido de alta helicidad cruzada o MHD desequilibrado) las predicciones del flujo de energía del modelo de Kraichnan e Iroshnikov son muy diferentes de las del modelo tipo Kolmogorov. Se ha demostrado utilizando DNS que los flujos calculados a partir de las simulaciones numéricas concuerdan mejor con el modelo tipo Kolmogorov en comparación con el modelo de Kraichnan e Iroshnikov. ^[15] ${\displaystyle \Pi ^{\pm }}$ ${\displaystyle E^{+}(k)\gg E^{-}(k)}$ ${\displaystyle \Pi ^{\pm }}$

También se han estudiado los aspectos anisotrópicos de la turbulencia MHD mediante simulaciones numéricas. Las predicciones de Goldreich y Sridhar ^[11] ( ) han sido verificadas en muchas simulaciones. ${\displaystyle k_{||}\sim k_{\perp }^{2/3}}$

Transferencia de energía

La transferencia de energía entre varias escalas entre la velocidad y el campo magnético es un problema importante en la turbulencia MHD. Estas cantidades se han calculado tanto teórica como numéricamente. ^[2] Estos cálculos muestran una transferencia de energía significativa desde el campo de velocidad a gran escala al campo magnético a gran escala. Además, la cascada de energía magnética suele ser directa. Estos resultados tienen una relación crítica con el problema de la dinamo.

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Hay muchos desafíos abiertos en este campo que, con suerte, se resolverán en un futuro próximo con la ayuda de simulaciones numéricas, modelos teóricos, experimentos y observaciones (por ejemplo, el viento solar).

Ver también

• Magnetohidrodinámica
• Turbulencia
• Ola de Alfvén
• dinamo solar
• número de reynolds
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Magnetohidrodinámica computacional
• Dinámica de fluidos computacional
• Viento solar
• Medidor de flujo magnético
• Liquido ionico

Referencias

1. D. Biskamp (2003), Turbulencia magnetohidrodinámica, (Cambridge University Press, Cambridge.)
2. Verma, Mahendra K. (2004). "Teoría estadística de la turbulencia magnetohidrodinámica: resultados recientes". Informes de Física . 401 (5–6): 229–380. arXiv : nlin/0404043 . Código Bib : 2004PhR...401..229V. doi :10.1016/j.physrep.2004.07.007. ISSN  0370-1573. S2CID  119352240.
3. PS Iroshnikov (1964), Turbulencia de un fluido conductor en un campo magnético fuerte, Astronomía soviética, 7, 566.
4. Kraichnan, Robert H. (1965). "Espectro de turbulencia hidromagnética de rango inercial". Física de Fluidos . 8 (7). Publicación AIP: 1385. Código bibliográfico : 1965PhFl....8.1385K. doi : 10.1063/1.1761412. ISSN  0031-9171.
5. Dobrowolny, M.; Mangeney, A.; Veltri, P. (14 de julio de 1980). "Turbulencia hidromagnética anisotrópica completamente desarrollada en el espacio interplanetario". Cartas de revisión física . 45 (2). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 144–147. Código bibliográfico : 1980PhRvL..45..144D. doi :10.1103/physrevlett.45.144. ISSN  0031-9007.
6. E. Marsch (1990), Turbulencia en el viento solar, en: G. Klare (Ed.), Reviews in Modern Astronomy, Springer, Berlín, p. 43.
7. Mattaeus, William H.; Zhou, Ye (1989). "Fenomenología de rango inercial extendido de la turbulencia magnetohidrodinámica". Física de Fluidos B: Física del Plasma . 1 (9). Publicaciones AIP: 1929-1931. Código bibliográfico : 1989PhFlB...1.1929M. doi : 10.1063/1.859110. ISSN  0899-8221.
8. Verma, Mahendra K. (1999). "Renormalización media del campo magnético y espectro de energía de Kolmogorov en turbulencia magnetohidrodinámica". Física de Plasmas . sesenta y cinco). Publicación AIP: 1455-1460. arXiv : chao-dyn/9803021 . Código Bib : 1999PhPl....6.1455V. doi : 10.1063/1.873397. ISSN  1070-664X. S2CID  2218981.
9. Shebalin, John V.; Mattaeus, William H.; Montgomery, David (1983). "Anisotropía en turbulencia MHD debida a un campo magnético medio". Revista de Física del Plasma . 29 (3). Prensa de la Universidad de Cambridge (CUP): 525–547. Código Bib : 1983JPlPh..29..525S. doi :10.1017/s0022377800000933. hdl : 2060/19830004728 . ISSN  0022-3778. S2CID  122509800.
10. Galtier, S.; Nazarenko, SV; Newell, CA; Pouquet, A. (2000). "Una teoría de la turbulencia débil para la magnetohidrodinámica incompresible" (PDF) . Revista de Física del Plasma . 63 (5). Prensa de la Universidad de Cambridge (CUP): 447–488. arXiv : astro-ph/0008148 . Código Bib : 2000JPlPh..63..447G. doi :10.1017/s0022377899008284. ISSN  0022-3778. S2CID  15528846.
11. Goldreich, P.; Sridhar, S. (1995). "Hacia una teoría de la turbulencia interestelar. 2: Fuerte turbulencia alfvénica" (PDF) . La revista astrofísica . 438 . Publicación IOP: 763. Código bibliográfico : 1995ApJ...438..763G. doi :10.1086/175121. ISSN  0004-637X.
12. Mattaeus, William H.; Goldstein, Melvyn L. (1982). "Medición de las invariantes rugosas de la turbulencia magnetohidrodinámica en el viento solar". Revista de investigaciones geofísicas . 87 (A8). Unión Geofísica Americana (AGU): 6011. Bibcode : 1982JGR....87.6011M. doi :10.1029/ja087ia08p06011. hdl : 11603/30515 . ISSN  0148-0227.
13. DA Roberts, ML Goldstein (1991), Turbulencia y ondas en el viento solar, Rev. Geophys., 29, 932.
14. Müller, Wolf-Christian; Biskamp, ​​Dieter (17 de enero de 2000). "Propiedades de escala de la turbulencia magnetohidrodinámica tridimensional". Cartas de revisión física . 84 (3). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 475–478. arXiv : física/9906003 . Código Bib : 2000PhRvL..84..475M. doi :10.1103/physrevlett.84.475. ISSN  0031-9007. PMID  11015942. S2CID  43131956.
15. Verma, MK; Roberts, fiscal del distrito; Goldstein, ML; Ghosh, S.; Stribling, WT (1 de octubre de 1996). "Un estudio numérico de la cascada no lineal de energía en turbulencia magnetohidrodinámica". Revista de investigación geofísica: física espacial . 101 (A10). Unión Geofísica Americana (AGU): 21619–21625. Código Bib : 1996JGR...10121619V. doi :10.1029/96ja01773. hdl : 11603/30574 . ISSN  0148-0227.