criterio de lawson

Criterio para iniciar una reacción en cadena de fusión nuclear

Criterio de Lawson de importantes experimentos de fusión por confinamiento magnético.

El criterio de Lawson es una figura de mérito utilizada en la investigación de la fusión nuclear . Compara la tasa de energía generada por reacciones de fusión dentro del combustible de fusión con la tasa de pérdidas de energía al medio ambiente. Cuando la tasa de producción es mayor que la tasa de pérdida, el sistema producirá energía neta. Si el combustible captura una cantidad suficiente de esa energía, el sistema se volverá autosostenible y se dice que se enciende .

El concepto fue desarrollado por primera vez por John D. Lawson en un artículo clasificado de 1955 ^[1] que fue desclasificado y publicado en 1957. ^[2] Tal como se formuló originalmente, el criterio de Lawson proporciona un valor mínimo requerido para el producto del plasma (electrón) densidad n _e y el " tiempo de confinamiento de energía " que conduce a la producción neta de energía. ${\displaystyle \tau _{E}}$

Un análisis posterior sugirió que una cifra de mérito más útil es el triple producto de la densidad, el tiempo de confinamiento y la temperatura del plasma T. El producto triple también tiene un valor mínimo requerido, y el nombre "criterio de Lawson" puede referirse a este valor.

El 8 de agosto de 2021, investigadores de la Instalación Nacional de Ignición del Laboratorio Nacional Lawrence Livermore en California confirmaron haber producido la primera ignición exitosa de una reacción de fusión nuclear que superó los criterios de Lawson en el experimento. ^{[3] [4]}

Balance energético

El concepto central del criterio de Lawson es un examen del balance energético de cualquier central de fusión que utilice plasma caliente. Esto se muestra a continuación:

Potencia neta = Eficiencia × (Fusión − Pérdida por radiación − Pérdida por conducción)

1. La potencia neta es el exceso de energía más allá de la necesaria internamente para que se desarrolle el proceso en cualquier planta de energía de fusión.
2. La eficiencia es cuánta energía se necesita para impulsar el dispositivo y qué tan bien recolecta energía de las reacciones.
3. La fusión es la tasa de energía generada por las reacciones de fusión.
4. La pérdida de radiación es la energía perdida en forma de luz (incluidos los rayos X ) que sale del plasma.
5. La pérdida por conducción es la energía que se pierde cuando las partículas abandonan el plasma y se llevan energía.

Lawson calculó la tasa de fusión asumiendo que el reactor de fusión contiene una nube de plasma caliente que tiene una curva gaussiana de energías de partículas individuales, una distribución de Maxwell-Boltzmann caracterizada por la temperatura del plasma. Basándose en esa suposición, estimó el primer término, la energía de fusión que se produce, utilizando la ecuación de fusión volumétrica. ^[5]

Fusión = Densidad numérica del combustible A × Densidad numérica del combustible B × Sección transversal (Temperatura) × Energía por reacción

1. La fusión es la tasa de energía de fusión producida por el plasma.
2. La densidad numérica es la densidad en partículas por unidad de volumen de los respectivos combustibles (o solo un combustible, en algunos casos)
3. La sección transversal es una medida de la probabilidad de un evento de fusión, que se basa en la temperatura del plasma.
4. La energía por reacción es la energía liberada en cada reacción de fusión.

Esta ecuación normalmente se promedia sobre una población de iones que tiene una distribución normal . El resultado es la cantidad de energía creada por el plasma en cualquier instante.

Luego, Lawson estimó ^[5] las pérdidas por radiación utilizando la siguiente ecuación:

${\displaystyle P_{B}=1.4\cdot 10^{-34}\cdot N^{2}\cdot T^{1/2}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {cm} ^{3}}}}$

donde N es la densidad numérica de la nube y T es la temperatura. Para su análisis, Lawson ignora las pérdidas de conducción. En realidad esto es casi imposible; Prácticamente todos los sistemas pierden energía porque la masa sale del plasma y se lleva su energía.

Al equiparar las pérdidas por radiación y las velocidades de fusión volumétrica, Lawson estimó la temperatura mínima de fusión para la reacción deuterio - tritio (DT).

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{3}\mathrm {T} \rightarrow \,_{2}^{4}\mathrm {He} \left(3.5\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{0}^{1}\mathrm {n} \left(14.1\,\mathrm {MeV} \right)}$

ser 30 millones de grados (2,6 keV), y para la reacción deuterio-deuterio (DD)

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{2}\mathrm {D} \rightarrow \,_{1}^{3}\mathrm {T} \left(1.0\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{1}^{1}\mathrm {p} \left(3.0\,\mathrm {MeV} \right)}$

ser de 150 millones de grados (12,9 keV). ^{[2] [6]}

Extensiones ennτmi

El tiempo de confinamiento mide la velocidad a la que un sistema pierde energía hacia su entorno. Cuanto más rápida sea la tasa de pérdida de energía , más corto será el tiempo de confinamiento de energía. Es la densidad de energía (contenido de energía por unidad de volumen) dividida por la densidad de pérdida de energía (tasa de pérdida de energía por unidad de volumen): ${\displaystyle \tau _{E}}$ ${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$

${\displaystyle \tau _{E}={\frac {W}{P_{\mathrm {loss} }}}}$

Para que un reactor de fusión funcione en estado estacionario, el plasma de fusión debe mantenerse a una temperatura constante. Por lo tanto, se debe agregar energía térmica al mismo ritmo que el plasma pierde energía para mantener las condiciones de fusión. Esta energía puede ser suministrada por las propias reacciones de fusión, según el tipo de reacción, o suministrando calentamiento adicional mediante diversos métodos.

A modo de ilustración, aquí se derivará el criterio de Lawson para la reacción DT, pero el mismo principio se puede aplicar a otros combustibles de fusión. También se supondrá que todas las especies tienen la misma temperatura, que no hay iones presentes aparte de los iones de combustible (sin impurezas ni cenizas de helio) y que D y T están presentes en la mezcla óptima 50-50. ^{a La} densidad de iones es igual a la densidad de electrones y la densidad de energía de los electrones y los iones juntos está dada por

${\displaystyle W=3nT}$

donde es la temperatura en electronvoltios (eV) y es la densidad de las partículas. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

La tasa de volumen (reacciones por volumen por tiempo) de las reacciones de fusión es ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=n_{\mathrm {d} }n_{\mathrm {t} }\langle \sigma v\rangle ={\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle }$

donde es la sección transversal de fusión , es la velocidad relativa y denota un promedio sobre la distribución de velocidad maxwelliana a la temperatura . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \langle \rangle }$ ${\displaystyle T}$

La tasa volumétrica de calentamiento por fusión es multiplicada por la energía de los productos de fusión cargados (los neutrones no pueden ayudar a calentar el plasma). En el caso de la reacción DT, . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }}$ ${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }=3.5\,\mathrm {MeV} }$

El criterio de Lawson, o valor mínimo de (densidad electrónica * tiempo de confinamiento de energía) requerido para el autocalentamiento, para tres reacciones de fusión. Para DT, nτ _E se minimiza cerca de la temperatura de 25 keV (300 millones de kelvins).

El criterio de Lawson requiere que el calentamiento por fusión supere las pérdidas:

${\displaystyle fE_{\rm {ch}}\geq P_{\rm {loss}}}$

Sustituyendo en cantidades conocidas se obtiene:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle E_{\rm {ch}}\geq {\frac {3nT}{\tau _{E}}}}$

Reordenando la ecuación se obtiene:

La cantidad es función de la temperatura con un mínimo absoluto. Reemplazar la función con su valor mínimo proporciona un límite inferior absoluto para el producto . Este es el criterio de Lawson. ${\displaystyle T/\langle \sigma v\rangle }$ ${\displaystyle n\tau _{E}}$

Para la reacción deuterio - tritio , el valor físico es al menos

${\displaystyle n\tau _{E}\geq 1.5\cdot 10^{20}{\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {m} ^{3}}}}$

El mínimo del producto se produce cerca de . ${\displaystyle T=26\,\mathrm {keV} }$

Ampliación al "producto triple"

Una cifra de mérito aún más útil es el "triple producto" de la densidad, la temperatura y el tiempo de confinamiento _, nTτE . Para la mayoría de los conceptos de confinamiento, ya sea inercial , especular o toroidal, la densidad y la temperatura se pueden variar en un rango bastante amplio, pero la presión máxima alcanzable p es una constante. Cuando tal es el caso, la densidad de potencia de fusión es proporcional a p ² <σ v >/ T  ² . La máxima potencia de fusión disponible en una determinada máquina se alcanza, por tanto, a la temperatura T , donde <σ v >/ T  ² es un máximo. Continuando con la derivación anterior, se obtiene fácilmente la siguiente desigualdad:

${\displaystyle nT\tau _{\rm {E}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$

La condición del triple producto de fusión para tres reacciones de fusión.

La cantidad también es función de la temperatura con un mínimo absoluto a una temperatura ligeramente inferior a . ${\displaystyle {\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$ ${\displaystyle {\frac {T}{\langle \sigma v\rangle }}}$

Para la reacción DT, el mínimo ocurre en T  = 14 keV. El <σ v > promedio en esta región de temperatura se puede aproximar como ^[7]

${\displaystyle \left\langle \sigma v\right\rangle =1.1\cdot 10^{-24}T^{2}\;{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}\,{\rm {,}}\quad {\rm {T\,in\,keV}}{\rm {,}}}$

entonces el valor mínimo del valor del producto triple en T  = 14 keV es aproximadamente

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\geq &{\frac {12\cdot 14^{2}\cdot {\rm {keV}}^{2}}{1.1\cdot 10^{-24}{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}14^{2}\cdot 3500\cdot {\rm {keV}}}}\approx 3\cdot 10^{21}{\mbox{keV s}}/{\mbox{m}}^{3}\\\end{matrix}}(3.5\cdot 10^{28}{\mbox{K s}}/{\mbox{m}}^{3})}$

Esta cifra aún no se ha alcanzado en ningún reactor, aunque las últimas generaciones de máquinas se han acercado. JT-60 informó 1,53x10 ²¹ keV.sm ⁻³ . ^[8] Por ejemplo, el TFTR ha logrado las densidades y la vida útil de energía necesarias para alcanzar el nivel Lawson a las temperaturas que puede crear, pero no puede crear esas temperaturas al mismo tiempo. ITER pretende hacer ambas cosas.

En cuanto a los tokamaks , existe una motivación especial para utilizar el triple producto. Empíricamente, se encuentra que el tiempo de confinamiento de energía τ _E es casi proporcional a n ^1/3 / P  ^{2/3 [ cita necesaria ]} . En un plasma encendido cerca de la temperatura óptima, la potencia de calentamiento P es igual a la potencia de fusión y por lo tanto es proporcional a n ² T  ² . El triple producto escala como

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\propto &nT\left(n^{1/3}/P^{2/3}\right)\\&\propto &nT\left(n^{1/3}/\left(n^{2}T^{2}\right)^{2/3}\right)\\&\propto &T^{-1/3}\\\end{matrix}}}$

El producto triple depende sólo débilmente de la temperatura como T  ^-1/3 . Esto hace que el triple producto sea una medida adecuada de la eficiencia del plan de confinamiento.

Confinamiento inercial

El criterio de Lawson se aplica tanto a la fusión por confinamiento inercial (ICF) como a la fusión por confinamiento magnético (MCF), pero en el caso inercial es más útil expresarlo de una forma diferente. Una buena aproximación al tiempo de confinamiento inercial es el tiempo que le toma a un ion recorrer una distancia R a su velocidad térmica . ${\displaystyle \tau _{E}}$

${\displaystyle v_{th}={\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}$

donde m _i denota masa iónica media. Por lo tanto , el tiempo de confinamiento inercial se puede aproximar como ${\displaystyle \tau _{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau _{E}&\approx &{\frac {R}{v_{th}}}\\\\&=&{\frac {R}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}\\\\&=&R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{\rm {B}}T}}}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

Sustituyendo la expresión anterior en la relación ( 1 ), obtenemos

${\displaystyle {\begin{matrix}n\tau _{E}&\approx &n\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{B}T}}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {k_{\rm {B}}T}{\langle \sigma v\rangle }}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle \cdot m_{i}^{1/2}}}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle }}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

Este producto debe ser mayor que un valor relacionado con el mínimo de T  ^3/2 /<σv>. El mismo requisito se expresa tradicionalmente en términos de densidad de masa ρ  = < nm _i >:

${\displaystyle \rho \cdot R\geq 1\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}}$

El cumplimiento de este criterio con la densidad del DT sólido (0,2 g/cm ³ ) requeriría un pulso láser de una energía inverosímilmente grande. Suponiendo que la energía requerida aumenta con la masa del plasma de fusión ( _láser E ~ ρR ³ ~ ρ ⁻² ), comprimir el combustible a 10 ³ o 10 ⁴ veces la densidad del sólido reduciría la energía requerida en un factor de 10 ⁶ o 10 ⁸ , llevándolo a un rango realista. Con una compresión de 10 ³ , la densidad comprimida será de 200 g/cm ³ y el radio comprimido puede ser tan pequeño como 0,05 mm. El radio del combustible antes de la compresión sería de 0,5 mm. La bolita inicial será quizás el doble de grande ya que la mayor parte de la masa será eliminada durante la compresión.

La potencia de fusión multiplicada por la densidad es una buena cifra para determinar la temperatura óptima para el confinamiento magnético, pero para el confinamiento inercial la quema fraccionada del combustible probablemente sea más útil. El quemado debe ser proporcional a la velocidad de reacción específica ( n ² < σv >) multiplicada por el tiempo de confinamiento (que escala como T  ^-1/2 ) dividido por la densidad de partículas n :

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{burn-up fraction }}&\propto &n^{2}\langle \sigma v\rangle T^{-1/2}/n\\&\propto &\left(nT\right)\langle \sigma v\rangle /T^{3/2}\\\end{matrix}}}$

Por tanto, la temperatura óptima para la fusión por confinamiento inercial maximiza <σv>/ T ^3/2 , que es ligeramente superior a la temperatura óptima para el confinamiento magnético.

Sistemas no térmicos

El análisis de Lawson se basa en la tasa de fusión y pérdida de energía en un plasma termalizado. Existe una clase de máquinas de fusión que no utilizan plasmas termalizados sino que aceleran directamente iones individuales a las energías requeridas. Los ejemplos más conocidos son migma , fusor y polywell .

Cuando se aplica al fusor, el análisis de Lawson se utiliza como argumento de que las pérdidas por conducción y radiación son los impedimentos clave para alcanzar la potencia neta. Los fusores utilizan una caída de voltaje para acelerar y colisionar iones, lo que resulta en la fusión. ^[9] La caída de voltaje es generada por jaulas de alambre, y estas jaulas alejan las partículas.

Los Polywells son mejoras en este diseño, diseñados para reducir las pérdidas de conducción al eliminar las jaulas de alambre que las causan. ^[10] Independientemente, se argumenta que la radiación sigue siendo un impedimento importante. ^[11]

Ver también

• Factor de ganancia de energía de fusión ( Q )

Notas

^a Es sencillo relajar estos supuestos. La pregunta más difícil es cómo definircuándo los iones y los electrones difieren en densidad y temperatura. Considerando que se trata de un cálculo de la producción y pérdida de energía por los iones, y que cualquier concepto de confinamiento de plasma debe contener las fuerzas de presión del plasma, parece apropiado definir la densidad (electrónica) efectivaa través de la presión (total)como. El factor dese incluye porquegeneralmente se refiere solo a la densidad de los electrones, peroaquí se refiere a la presión total. Dadas dos especies con densidades de iones, números atómicos, temperatura de ionesy temperatura de electrones, es fácil demostrar que el poder de fusión se maximiza mediante una mezcla de combustible dada por. Los valores de,y la densidad de potencia deben multiplicarse por el factor. Por ejemplo, con protones y boro (se debe incluirotro factor dePor otro lado, para los electrones fríos, todas las fórmulas deben dividirse por(sin ningún factor adicional para). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=p/2T_{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n_{1,2}}$ ${\displaystyle Z_{1,2}}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle n_{1}/n_{2}=(1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/(1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })}$ ${\displaystyle n\tau }$ ${\displaystyle nT\tau }$ ${\displaystyle (1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })\cdot (1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/4}$ ${\displaystyle Z=5}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle Z>1}$

Referencias

1. Lawson, JD (diciembre de 1955). Algunos criterios para un reactor termonuclear útil (PDF) (Informe técnico). Establecimiento de investigación de energía atómica, Harwell, Berkshire, Reino Unido^{[ enlace muerto ]}
2. Lawson, JD (diciembre de 1955). "Algunos criterios para un reactor termonuclear productor de energía". Actas de la Sociedad de Física, Sección B. 70 (1): 6–10. Código Bib : 1957PPSB...70....6L. doi :10.1088/0370-1301/70/1/303.
3. "Los científicos lograron una fusión nuclear autosostenida... pero ahora no pueden replicarla". Alerta científica. 16 de agosto de 2022.
4. Abu-Shawareb, H.; Acre, R.; Adams, P.; Adams, J.; Addis, B.; Adén, R.; Adrián, P.; Afeyan, BB; Aggleton, M.; Aghaian, L.; Aguirre, A.; Aikens, D.; Akre, J.; Alberto, F.; Albrecht, M. (8 de agosto de 2022). "Se superó el criterio de Lawson para el encendido en un experimento de fusión inercial". Cartas de revisión física . 129 (7): 075001. Código bibliográfico : 2022PhRvL.129g5001A. doi : 10.1103/PhysRevLett.129.075001 . hdl : 10044/1/99300 . ISSN  0031-9007. PMID  36018710.
5. Spitzer, Lyman; Seeger, Raymond J. (noviembre de 1963). "Física de gases totalmente ionizados". Revista Estadounidense de Física . 31 (11): 890–891. Código bibliográfico : 1963AmJPh..31..890S. doi :10.1119/1.1969155. ISSN  0002-9505.
6. "Convertidor de energía". www.phys.ksu.edu . Universidad Estatal de Kansas . Consultado el 17 de febrero de 2023 .
7. Wesson, J. (2004). "Tokamaks". Serie de ciencias de la ingeniería de Oxford (48) (3 ed.). Oxford: Prensa de Clarendon.
8. "El producto triple de fusión más alto del mundo marcado en plasmas en modo H con alto contenido de βp". Archivado desde el original el 6 de enero de 2013.
9. Hirsch, Robert L. (octubre de 1967). "Confinamiento inercial-electrostático de gases de fusión ionizados". Revista de Física Aplicada . 38 (11): 4522–4534. Código Bib : 1967JAP....38.4522H. doi :10.1063/1.1709162. ISSN  0021-8979.
10. Bussard, Robert W (2 de octubre de 2006). "El advenimiento de la fusión nuclear limpia: propulsión y potencia espacial de superrendimiento". 57º Congreso Astronáutico Internacional . Reston, Virginia: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. doi :10.2514/6.iac-06-d2.8.05. ISBN 978-1-62410-042-0.
11. Jinete, Todd H. (1 de abril de 1997). "Limitaciones fundamentales de los sistemas de fusión de plasma que no están en equilibrio termodinámico". Física de Plasmas . 4 (4): 1039–1046. Código Bib : 1997PhPl....4.1039R. doi : 10.1063/1.872556. hdl : 1721.1/11412 . ISSN  1070-664X.

Enlaces externos

• Derivación matemática, archivada en 2019 desde el original.