Paquete de olas

"Explosión" o "envoltura" corta de acción de onda restringida que viaja como una unidad

Una animación en bucle de un paquete de ondas que se propaga sin dispersión.

En física , un paquete de ondas (también conocido como tren de ondas o grupo de ondas ) es una breve ráfaga de acción ondulatoria localizada que viaja como una unidad, delineada por una envoltura . Un paquete de ondas puede analizarse o sintetizarse a partir de un conjunto potencialmente infinito de ondas sinusoidales componentes de diferentes números de onda , con fases y amplitudes tales que interfieren constructivamente sólo en una pequeña región del espacio y destructivamente en otros lugares. ^[1] Cualquier señal de un ancho limitado en el tiempo o el espacio requiere muchos componentes de frecuencia alrededor de una frecuencia central dentro de un ancho de banda inversamente proporcional a ese ancho; incluso una función gaussiana se considera un paquete de ondas porque su transformada de Fourier es un "paquete" de ondas de frecuencias agrupadas alrededor de una frecuencia central. ^[2] Cada función de onda componente , y por tanto el paquete de ondas, son soluciones de una ecuación de onda . Dependiendo de la ecuación de onda, el perfil del paquete de ondas puede permanecer constante (sin dispersión) o puede cambiar (dispersión) durante la propagación.

Antecedentes históricos

Las ideas relacionadas con los paquetes de ondas ( modulación , ondas portadoras , velocidad de fase y velocidad de grupo ) datan de mediados del siglo XIX. La idea de una velocidad de grupo distinta de la velocidad de fase de una onda fue propuesta por primera vez por WR Hamilton en 1839, y el primer tratamiento completo fue por Rayleigh en su "Teoría del sonido" en 1877. ^[3]

Erwin Schrödinger introdujo la idea de los paquetes de ondas justo después de publicar su famosa ecuación de ondas . ^[4] Resolvió su ecuación de onda para un oscilador armónico cuántico , introdujo el principio de superposición y lo utilizó para demostrar que un estado compacto podía persistir. Si bien este trabajo dio como resultado el importante concepto de estados coherentes , el concepto de paquete de ondas no perduró. Un año después del artículo de Schrödinger, Werner Heisenberg publicó su artículo sobre el principio de incertidumbre , mostrando en el proceso que los resultados de Schrödinger sólo se aplicaban a osciladores armónicos cuánticos , no, por ejemplo, al potencial de Coulomb característico de los átomos. ^{[4] : 829}

Al año siguiente, 1927, Charles Galton Darwin exploró la ecuación de Schrödinger para un electrón libre en el espacio libre, suponiendo un paquete de ondas gaussianas inicial. ^[5] Darwin demostró que en un momento posterior la posición del paquete que viaja a velocidad sería ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$

¿Dónde está la incertidumbre en la posición inicial? ${\displaystyle \sigma }$

Más tarde, en 1927, Paul Ehrenfest demostró que el tiempo necesario para que un paquete de ondas de materia de ancho y masa se extendiera por un factor de 2 era ... Como son tan pequeños, los paquetes de ondas en la escala de los objetos macroscópicos, con gran ancho y masa, se duplican sólo en escalas de tiempo cósmicas. ^{[4] : 830} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle T\approx \Delta x{\sqrt {m/\hbar }}}$ ${\displaystyle \hbar }$

Importancia en la mecánica cuántica

La mecánica cuántica describe la naturaleza de los sistemas atómicos y subatómicos utilizando la ecuación de ondas de Schrödinger . El límite clásico de la mecánica cuántica y muchas formulaciones de la dispersión cuántica utilizan paquetes de ondas formados a partir de varias soluciones de esta ecuación. Los perfiles de los paquetes de ondas cuánticas cambian durante la propagación; muestran dispersión. Los físicos han llegado a la conclusión de que "los paquetes de ondas no servirían como representaciones de partículas subatómicas". ^{[4] : 829}

Paquetes de ondas y el límite clásico.

Schrodinger desarrolló paquetes de ondas con la esperanza de interpretar soluciones de ondas cuánticas como grupos de ondas localmente compactos. ^[4] Dichos paquetes compensan la localización de la posición para difundir el impulso. En la representación coordinada de la onda (como el sistema de coordenadas cartesianas ), la posición de la probabilidad localizada de la partícula está especificada por la posición de la solución del paquete. Cuanto más estrecho sea el paquete de ondas espacial y, por tanto, mejor localizada su posición, mayor será la dispersión del impulso de la onda. Este equilibrio entre diferencial de posición y diferencial de impulso es un rasgo característico del principio de incertidumbre de Heisenberg.

Un tipo de compensación óptima minimiza el producto de la incertidumbre de la posición y la incertidumbre del impulso . ^{[6] : 60} Si colocamos un paquete de este tipo en reposo, permanece en reposo: el valor promedio de la posición y el momento coinciden con una partícula clásica. Sin embargo, se propaga en todas direcciones con una velocidad dada por la incertidumbre del momento óptimo . La propagación es tan rápida que a una distancia de una vuelta alrededor de un átomo, el paquete de ondas es irreconocible. ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p_{x}}$ ${\displaystyle \Delta p_{x}}$

Paquetes de ondas y dispersión cuántica

Las interacciones de partículas se denominan dispersión en física; Las matemáticas de paquetes de ondas desempeñan un papel importante en los enfoques de dispersión cuántica . Una fuente monocromática (momento único) produce dificultades de convergencia en los modelos de dispersión. ^{[7] : 150} Los problemas de dispersión también tienen límites clásicos. Siempre que el objetivo de dispersión (por ejemplo, un átomo) tiene un tamaño mucho más pequeño que el paquete de ondas, el centro del paquete de ondas sigue trayectorias clásicas de dispersión. En otros casos, el paquete de ondas se distorsiona y se dispersa al interactuar con el objetivo. ^{[8] : 295}

Comportamientos básicos

No dispersivo

Un paquete de ondas sin dispersión (parte real o imaginaria)

Sin dispersión, el paquete de ondas mantiene su forma a medida que se propaga. Como ejemplo de propagación sin dispersión , considere las soluciones ondulatorias de la siguiente ecuación de onda de la física clásica

$${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\,\nabla ^{2}u,}$$

donde c es la velocidad de propagación de la onda en un medio determinado.

Usando la convención de tiempo de la física, e ^{− iωt} , la ecuación de onda tiene soluciones de onda plana

$${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega t)},}$$

dónde

$${\displaystyle \omega ^{2}=|\mathbf {k} |^{2}c^{2},}$$

${\displaystyle |\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.}$

Esta relación entre ω y k debería ser válida para que la onda plana sea una solución de la ecuación de onda. Se llama relación de dispersión .

Para simplificar, consideremos sólo ondas que se propagan en una dimensión (la extensión a tres dimensiones es sencilla). Entonces la solución general es

$${\displaystyle u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)},}$$

ω = kcdirección xx − ctx + ctdirección x

Un paquete de ondas es una perturbación localizada que resulta de la suma de muchas formas de ondas diferentes . Si el paquete está fuertemente localizado, se necesitan más frecuencias para permitir la superposición constructiva en la región de localización y la superposición destructiva fuera de la región. A partir de las soluciones básicas en una dimensión, una forma general de un paquete de ondas se puede expresar como

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk.}$$

Como en el caso de onda plana, el paquete de ondas viaja hacia la derecha para ω ( k ) = kc , ya que u ( x , t ) = F ( x − ct ) , y hacia la izquierda para ω ( k ) = − kc , ya que u ( x , t ) = F ( x + ct ) .

El factor proviene de las convenciones de la transformada de Fourier . La amplitud A ( k ) contiene los coeficientes de la superposición lineal de las soluciones de onda plana. Estos coeficientes, a su vez, se pueden expresar como una función de u ( x , t ) evaluada en t = 0 invirtiendo la relación de transformada de Fourier anterior: ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

$${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}\,dx.}$$

Por ejemplo, elegir

$${\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},}$$

obtenemos

$${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},}$$

y finalmente

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}}$$

En la animación anterior se presenta la propagación no dispersiva de la parte real o imaginaria de este paquete de ondas.

Dispersivo

Un paquete de ondas con dispersión. Observe que la onda se extiende y su amplitud se reduce.

Densidad de probabilidad espacial de posición de un estado inicialmente gaussiano que se mueve en una dimensión con un impulso constante y mínimamente incierto en el espacio libre.

Por el contrario, como ejemplo de dispersión en el que una onda cambia de forma durante la propagación, considere soluciones a la ecuación de Schrödinger (no dimensionalizada con 2Δ x , m y ħ igual a uno),

$${\displaystyle i{\partial \psi \over \partial t}=-{\frac {1}{2}}{\nabla ^{2}\psi },}$$

$${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}|\mathbf {k} |^{2}.}$$

Una vez más, restringiendo la atención a una dimensión, se ve que la solución de la ecuación de Schrödinger que satisface la condición inicial , que representa un paquete de ondas localizado en el espacio en el origen, es ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}}$$

Se obtiene una impresión del comportamiento dispersivo de este paquete de ondas observando la densidad de probabilidad:

$${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.}$$

k _oancho√ 1 + 4 t ² → 2 t^{[nota 1]}

El perfil de impulso A ( k ) permanece invariante. La corriente de probabilidad es

$${\displaystyle j=\rho v={\frac {1}{2i}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})=\rho \left(k_{0}+{\frac {4t(x-k_{0}t)}{1+4t^{2}}}\right).}$$

Paquetes de ondas gaussianas en mecánica cuántica

Superposición de ondas planas 1D (azul) que se suman para formar un paquete de ondas gaussianas (rojo) que se propaga hacia la derecha mientras se propaga. Los puntos azules siguen la velocidad de fase de cada onda plana, mientras que la línea roja sigue la velocidad del grupo central.

Paquete de ondas gaussianas 1D, mostrado en el plano complejo, para a =2 y k =4

El paquete de ondas gaussianas dispersivas anterior, no normalizado y centrado justo en el origen, en cambio, en t =0, ahora se puede escribir en 3D, ahora en unidades estándar: ^{[9] [10]}

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},}$$

acuadrado del ancho del paquete de ondas

$${\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2}.}$$

La transformada de Fourier también es gaussiana en términos del número de onda, el k -vector, (con ancho inverso,

$${\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2},}$$

$${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,}$$

relación de incertidumbre

$${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.}$$

Cada onda separada solo gira en fase en el tiempo, de modo que la solución transformada de Fourier dependiente del tiempo es

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {k} ,t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}e^{-iEt/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2-i(\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2m)t/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.\end{aligned}}}$

La transformada inversa de Fourier sigue siendo gaussiana, pero ahora el parámetro a se ha vuelto complejo y existe un factor de normalización general. ^[6]

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\left({a \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m)}}.}$

La integral de Ψ en todo el espacio es invariante, porque es el producto interno de Ψ con el estado de energía cero, que es una onda con longitud de onda infinita, una función constante del espacio. Para cualquier estado propio de energía η ( x ) , el producto interno,

$${\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$$

ηη

La integral ∫ |Ψ| ² d ³ r también es invariante, lo cual es una declaración de la conservación de la probabilidad. Explícitamente,

${\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},}$

en el que √ a es el ancho de P ( r ) en t = 0 ; r es la distancia desde el origen; la velocidad de la partícula es cero; y el origen temporal t = 0 se puede elegir arbitrariamente.

El ancho del gaussiano es la cantidad interesante que se puede leer a partir de la densidad de probabilidad, |Ψ| ² ,

$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}}.}$$

ħt /( m √ a )la propagación de paquetes de ondas^[11]

Por ejemplo, si un paquete de ondas de electrones se localiza inicialmente en una región de dimensiones atómicas (es decir, 10 ⁻¹⁰ m), entonces el ancho del paquete se duplica en aproximadamente 10 ⁻¹⁶ s. Claramente, los paquetes de ondas de partículas se propagan muy rápidamente (en el espacio libre): ^[12] Por ejemplo, después de 1 ms, el ancho habrá crecido hasta aproximadamente un kilómetro.

Este crecimiento lineal es un reflejo de la incertidumbre del momento (invariante en el tiempo): el paquete de ondas está confinado a un estrecho Δ x = √ a /2 y, por lo tanto, tiene un momento que es incierto (según el principio de incertidumbre) por la cantidad ħ / √ 2 a , una dispersión en la velocidad de ħ/m √ 2 a , y por lo tanto en la posición futura de ħt /m √ 2 a . La relación de incertidumbre es entonces una desigualdad estricta, ¡muy lejos de la saturación, por cierto! La incertidumbre inicial Δ x Δ p = ħ /2 ahora ha aumentado en un factor de ħt/ma (para t grande ).

2D

Un paquete de ondas cuánticas gaussianas 2D. El color (amarillo verde azul) indica la fase de la función de onda , su brillo indica . , ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle |\psi |^{2}/|\psi |_{max}^{2}}$ ${\displaystyle k_{0x}=k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0y}=0}$

Una función de onda cuántica 2D gaussiana:

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\psi (x,t)\psi (y,t)}$

${\displaystyle \psi (x,t)=({\frac {2a^{2}}{\pi }})^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}})^{1/4}}}e^{ik_{0}x}exp[-{\frac {(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}]}$

dónde

${\displaystyle \phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t}$

${\displaystyle tg(2\theta )={\frac {2\hbar t}{ma^{2}}}}$ ^[13]

El tren de olas Airy

En contraste con el paquete de ondas gaussianas anterior, se ha observado ^[14] que una función de onda particular basada en funciones de Airy se propaga libremente sin dispersión de envolvente, manteniendo su forma. Acelera sin distorsiones en ausencia de un campo de fuerza:

$${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} (B(x-B^{3}t^{2}))\,e^{iB^{3}t\left(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2}\right)}\,.}$$

ħ = 1m = 1/2Bno dimensionalización

Vista truncada del desarrollo temporal del frente Airy en el espacio fase. (Haga clic para animar).

Sin embargo, no hay disonancia con el teorema de Ehrenfest en esta situación libre de fuerzas, porque el estado no es normalizable y tiene un ⟨ x ⟩ indefinido (infinito) para todos los tiempos. (En la medida en que podría definirse, ⟨ p ⟩ = 0 para todos los tiempos, a pesar de la aparente aceleración del frente).

En el espacio de fases , esto es evidente en la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner en estado puro de este tren de ondas, cuya forma en x y p es invariante a medida que avanza el tiempo, pero cuyas características aceleran hacia la derecha, en parábolas aceleradas B ( x − B ³ t ² ) + ( p / B − tB ² ) ² = 0 ,

$${\displaystyle W(x,p;t)=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)={1 \over 2^{1/3}\pi B}~\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(Bx+{p^{2} \over B^{2}}-2Bpt\right)\right).}$$

Tenga en cuenta que la distribución de impulso obtenida al integrar todo x es constante. Dado que ésta es la densidad de probabilidad en el espacio de momento , es evidente que la función de onda en sí no es normalizable.

propagador gratuito

El límite de ancho estrecho de la solución de paquetes de ondas gaussianas analizada es el núcleo propagador libre K. Para otras ecuaciones diferenciales, esto suele denominarse función de Green, ^[15] pero en mecánica cuántica es tradicional reservar el nombre función de Green para la transformada temporal de Fourier de K.

Volviendo a una dimensión por simplicidad, con m y ħ iguales a uno, cuando a es la cantidad infinitesimal ε , la condición inicial gaussiana, reescalada para que su integral sea uno,

$${\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,}$$

función deltaδ ( x )

$${\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2it+\varepsilon }\,}$$

Tenga en cuenta que un paquete de ondas inicial muy estrecho se vuelve instantáneamente infinitamente ancho, pero con una fase que oscila más rápidamente en valores grandes de x . Esto puede parecer extraño: la solución pasa de estar localizada en un punto a estar "en todas partes" en todos los momentos posteriores , pero es un reflejo de la enorme incertidumbre del momento de una partícula localizada, como se explicó anteriormente.

Tenga en cuenta además que la norma de la función de onda es infinita, lo cual también es correcto, ya que el cuadrado de una función delta es divergente de la misma manera.

El factor que involucra a ε es una cantidad infinitesimal que está ahí para garantizar que las integrales sobre K estén bien definidas. En el límite en que ε → 0 , K se vuelve puramente oscilatorio y las integrales de K no son absolutamente convergentes. En el resto de esta sección, se pondrá a cero, pero para que todas las integraciones sobre estados intermedios estén bien definidas, el límite ε →0 solo debe tomarse después de calcular el estado final.

El propagador es la amplitud para llegar al punto x en el tiempo t , cuando se parte del origen, x =0. Por invariancia de traslación, la amplitud para alcanzar un punto x cuando se comienza en el punto y es la misma función, solo que ahora traducida,

$${\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}$$

En el límite cuando t es pequeño, el propagador pasa a una función delta

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}$$

distribucionesfunción de prueba

Para ver esto, observe que la integral en todo el espacio de K es igual a 1 en todo momento,

$${\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}$$

Kε

Entonces, el núcleo de propagación es la evolución temporal (futura) de una función delta, y es continua, en cierto sentido: va a la función delta inicial en momentos pequeños. Si la función de onda inicial es un pico infinitamente estrecho en la posición y ,

$${\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,}$$

$${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}$$

Ahora bien, dado que cada función se puede escribir como una suma ponderada de picos tan estrechos,

$${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}$$

cada función ψ ₀K

${\displaystyle \psi _{t}(x)=\int \psi _{0}(y){1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}dy\,.}$

Por tanto, esta es una forma formal de expresar la solución fundamental o solución general . La interpretación de esta expresión es que la amplitud de una partícula que se encuentra en el punto x en el tiempo t es la amplitud con la que comenzó en y , multiplicada por la amplitud con la que pasó de y a x , sumada sobre todos los puntos de partida posibles . En otras palabras, es una convolución del núcleo K con la condición inicial arbitraria ψ ₀ ,

$${\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}$$

Dado que la amplitud para viajar de x a y después de un tiempo t + t ' puede considerarse en dos pasos, el propagador obedece a la identidad de composición,

$${\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}$$

xzttxytyzttodos los posibles estados intermedios yintegral de trayectoria^[dieciséis]

Continuación analítica a la difusión.

La dispersión de paquetes de ondas en mecánica cuántica está directamente relacionada con la dispersión de densidades de probabilidad en difusión . Para una partícula que camina aleatoriamente , la función de densidad de probabilidad en cualquier punto satisface la ecuación de difusión (ver también la ecuación del calor ),

$${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ~,}$$

Una solución de esta ecuación es la gaussiana en expansión,

$${\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t}~,}$$

ρ _tt

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)}$$

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)}$$

función de prueba fluida f

La propagación gaussiana es el núcleo de propagación de la ecuación de difusión y obedece a la identidad de convolución ,

$${\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,}$$

H

$${\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,}$$

$${\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}$$

Una matriz tiene dos índices, lo que en el espacio continuo la convierte en función de x y x '. En este caso, debido a la invariancia de traducción, el elemento de la matriz K solo depende de la diferencia de posición, y un abuso conveniente de notación es referirse al operador, los elementos de la matriz y la función de la diferencia con el mismo nombre:

$${\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}$$

La invariancia de traducción significa que la multiplicación continua de matrices,

$${\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,}$$

$${\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}$$

La exponencial se puede definir en un rango de t s que incluye valores complejos, siempre que las integrales sobre el núcleo de propagación permanezcan convergentes,

$${\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}$$

zxKK

El límite de esta expresión para z acercándose al eje imaginario puro es el propagador de Schrödinger encontrado anteriormente,

$${\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,}$$

Desde la identidad fundamental de exponenciación, o integración de caminos,

$${\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}$$

z

Por tanto, la evolución cuántica de un gaussiano, que es el núcleo de difusión complejo K ,

$${\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,}$$

$${\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}$$

Esto ilustra la forma difusiva anterior de las soluciones gaussianas complejas,

$${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}$$

Ver también

• Ola
• Propagación de onda
• análisis de Fourier
• Velocidad de grupo
• Velocidad de fase
• partícula libre
• Estados coherentes
• Forma de onda
• Ondícula
• onda de materia
• Pulso (procesamiento de señal)
• Pulso (física)
• ecuación de Schrödinger
• Introducción a la mecánica cuántica.
• solitón

Observaciones

1. Por el contrario, la introducción de términos de interacción en ecuaciones dispersivas, como las del oscilador armónico cuántico, puede dar como resultado la aparición de soluciones de aspecto clásico y no dispersivas con envolvente; consulte estados coherentes: tales "estados de incertidumbre mínima" sí saturan el principio de incertidumbre de forma permanente.

Referencias

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8. Susskind, Leonard; Friedman, Arte; Susskind, Leonard (2014). Mecánica cuántica: el mínimo teórico; [lo que necesitas saber para empezar a hacer física] . El mínimo teórico / Leonard Susskind y George Hrabovsky. Nueva York, NY: Libros básicos. ISBN 978-0-465-08061-8.
9. Pauli, Wolfgang (2000), Mecánica de ondas: volumen 5 de las conferencias Pauli sobre física , libros sobre física, publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-41462-1
10. * Abers, E.; Pearson, Ed (2004), Mecánica cuántica , Addison Wesley , Prentice-Hall Inc. , ISBN 978-0-13-146100-0
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12. Richard Fitzpatrick, Oscilaciones y ondas
13. Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë, Mecánica cuántica, complemento G _I , §3-a
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15. Jackson, JD (1975), Electrodinámica clásica (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , Inc., ISBN 978-0-471-43132-9
16. Feynman, RP ; Hibbs, AR (1965), Mecánica cuántica e integrales de trayectoria , Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-020650-2

enlaces externos

• Materiales de aprendizaje relacionados con el movimiento de paquetes de ondas en Wikiversity
• La definición del diccionario de paquete de ondas en Wikcionario
• Gráfico de paquetes de ondas 1d en Google
• Tren de ondas 1d y gráfico de densidad de probabilidad en Google
• Gráfico de paquetes de ondas 2D en Google
• Trazado de tren de olas 2D en Google
• Gráfico de densidad de probabilidad 2D en Google
• Física cuántica en línea: simulación interactiva de un paquete de ondas gratuito
• Web-Schrödinger: simulación interactiva de dinámica de paquetes de ondas 2D
• Una simulación de un paquete de ondas en 2D (según FOURIER-Synthesis en 2D)